n+1 - SUUGAKU.JP

1
3
2 つの放物線
C1 : y = x2 ;
平面において，一直線上にない 3 点 O，A，B がある．O を通り直線 OA と
垂直な直線上に O と異なる点 P をとる．O を通り直線 OB と垂直な直線上
¡! ¡! ¡!
に O と異なる点 Q をとる．ベクトル OP + OQ は AB に垂直であるとする．
C2 : y = ¡(x ¡ 1)2
がある．a は 0 でない実数とし，C1 上の 2 点 P(a; a2 )，Q(¡2a; 4a2 ) を
通る直線と平行な C1 の接線を ` とする．
(1) ` の方程式を a で表せ．
(2) C2 と ` が異なる 2 つの共有点をもつような a の値の範囲を求めよ．
(3) C2 と ` が異なる 2 つの共有点 R，S をもつとする．線分 PQ の長さと線分
¡! ¡! ¡! ¡!
(1) OP ¢ OB = OQ ¢ OA を示せ．
¡! ¡!
¼
とする．こ
(2) ベクトル OA，OB のなす角を ® とする．ただし，0 < ® <
2
¡! ¡!
のときベクトル OP，OQ のなす角が ¼ ¡ ® であることを示せ．
¡!
¡!
jOPj
jOQj
(3) ¡! = ¡! を示せ．
jOAj
jOBj
（北海道大学 2015 ）
RS の長さが等しくなるとき，a の値を求めよ．
（北海道大学 2015 ）
2
p は 0 でない実数とし
4
a1 = 1;
an+1
1
a ¡ (¡1)n+1
=
p n
(n = 1; 2; 3; Ý)
ジョーカーを除く 1 組 52 枚のトランプのカードを 1 列に並べる試行を考える．
(1) 番号 7 のカードが 4 枚連続して並ぶ確率を求めよ．
(2) 番号 7 のカードが 2 枚ずつ隣り合い，4 枚連続しては並ばない確率を求めよ．
によって定まる数列 fan g がある．
（北海道大学 2015 ）
(1) bn = pn an とする．bn+1 を bn ; n; p で表せ．
(2) 一般項 an を求めよ．
（北海道大学 2015 ）
5
7
a は実数とし，2 つの曲線
C1 : y = (x ¡ 1)ex ;
C2 : y =
f(x) = x4 ¡ 4x3 ¡ 8x2 とする．
(1) 関数 f(x) の極大値と極小値，およびそのときの x を求めよ．
1 2
x +a
2e
(2) 曲線 y = f(x) に 2 点 (a; f(a)) と (b; f(b)) (a < b) で接する直線の
方程式を求めよ．
がある．ただし，e は自然対数の底である．C1 上の点 (t; (t ¡ 1)et ) におけ
る C1 の接線が C2 に接するとする．
（北海道大学 2014 ）
(1) a を t で表せ．
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，およびそのときの t の値を求めよ．
（北海道大学 2015 ）
6
3
をみたす実数とし，実数 x の関数
n は自然数，a は a >
2
f(x) =
Z
x
0
(x ¡ µ)(a sinn+1 µ ¡ sinn¡1 µ) dµ
8
四面体 OABC は，OA = OB = OC = 1，ÎAOB = ÎBOC = ÎCOA =
90± をみたす．辺 OA 上の点 P と辺 OB 上の点 Q を OP = p，OQ = q，
1
pq =
となるようにとる．p + q = t とし，4CPQ の面積を S とする．
2
(1) t のとり得る値の範囲を求めよ．
を考える．ただし，n = 1 のときは sinn¡1 µ = 1 とする．
Z ¼
Z ¼
2
2
n
n+1
(1)
sin
µ dµ =
sinn¡1 µ dµ を示せ．
n+1 0
0
(2) S を t で表せ．
(3) S の最小値，およびそのときの p; q を求めよ．
（北海道大学 2014 ）
¼
; = 0 をみたす n と a の値を求めよ．
2
¼
(3) (2) で求めた n と a に対して，f # ; を求めよ．
2
(2) f0 #
（北海道大学 2015 ）
9
逆行列をもつ 2 次の正方行列，A1 ; A2 ; A3 ; Ý が，関係式
10 図のような格子状の道路がある．S 地点を出発して，東または北に進んで G
地点に到達する経路を考える．ただし太い実線で描かれた区間 a を通り抜け
An+1 An = An + 2E
(n = 1; 2; 3; Ý)
るのに 1 分，点線で描かれた区間 b を通り抜けるのに 8 分，それ以外の各区
をみたすとする．さらに A1 + E は逆行列をもつとする．ここで E は 2 次
間を通り抜けるのに 2 分かかるものとする．たとえば，図の矢印に沿った経
の単位行列とする．
路では S を出発し G に到達するまでに 16 分かかる．
(1) すべての自然数 n に対して An + E は逆行列をもち，
(An+1 + E)¡1 =
1
A (A + E)¡1
2 n n
が成立することを示せ．
(2) Bn = (2E ¡ An )(An + E)¡1 により，行列 Bn を定める．Bn+1 と Bn と
の間に成立する関係式を求め，Bn を B1 と n を用いて表せ．
（北海道大学 2014 ）
(1) a を通り抜ける経路は何通りあるか．
(2) a を通り抜けずに b を通り抜ける経路は何通りあるか．
(3) すべての経路から任意に 1 つ選んだとき，S 地点から G 地点に到達するの
にかかる時間の期待値を求めよ．
（北海道大学 2014 ）
11 f(x) =
Z
x+
x
¼
3
sin µ dµ とおく．
(1) f0 (x) を求めよ．
(2) 0 5 x 5 ¼ における f(x) の最大値と最小値，およびそのときの x を求
めよ．
（北海道大学 2014 ）

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