x > 0 - SUUGAKU.JP

年番号
1
a を正の実数とし，p を正の有理数とする．座
3
氏名
座標空間の x 軸上に動点 P，Q がある．P，Q は
標平面上の 2 つの曲線 y = axp (x > 0) と
時刻 0 において，原点を出発する．P は x 軸の正
y = log x (x > 0) を考える．この 2 つの曲線
の方向に，Q は x 軸の負の方向に，ともに速さ
の共有点が 1 点のみであるとし，その共有点を
1 で動く．その後，ともに時刻 1 で停止する．点
Q とする．以下の問いに答えよ．必要であれば，
xp
lim
= 1 を証明なしに用いてよい．
x!1 log x
P，Q を中心とする半径 1 の球をそれぞれ A; B
とし，空間で x = ¡1 の部分を C とする．この
とき，以下の問いに答えよ．
(1) a および点 Q の x 座標を p を用いて表せ．
(2) この 2 つの曲線と x 軸で囲まれる図形を，x 軸
(1) 時刻 t (0 5 t 5 1) における立体 (A [ B) \ C
のまわりに 1 回転してできる立体の体積を p を
用いて表せ．
の体積 V(t) を求めよ．
(2) V(t) の最大値を求めよ．
(3) (2) で得られる立体の体積が 2¼ になるときの
（大阪大学 2015 ）
p の値を求めよ．
（東京大学 2015 ）
2
座標平面上の点 P(1; 1) を中心とし，原点 O を
通る円を C1 とする．k を正の定数として，曲線
k
y=
(x > 0) を C2 とする．C1 と C2 は 2
x
点で交わるとし，その交点を Q，R とするとき，
直線 PQ は x 軸に平行であるとする．点 Q の x
座標を q とし，点 R の x 座標を r とする．次の
問いに答えよ．
4
n は自然数，a は a >
数 x の関数
f(x) =
Z
x
0
(x ¡ µ)(a sinn+1 µ ¡ sinn¡1 µ) dµ
を考える．ただし，n = 1 のときは sinn¡1 µ = 1
とする．
Z ¼
2
sinn+1 µ dµ =
(1)
(1) k; q; r の値を求めよ．
(2) 曲線 C2 と線分 OQ，OR で囲まれた部分の面積
S を求めよ．
p
(3) x = 1 + 2 sin µ とおくことにより，定積分
Z qC
2 ¡ (x ¡ 1)2 dx の値を求めよ．
r
(4) 円 C1 の原点 O を含まない弧 QR と曲線 C2 で
囲まれた図形を，x 軸のまわりに 1 回転してで
きる回転体の体積 V を求めよ．
（広島大学 2015 ）
3
をみたす実数とし，実
2
0
n
n+1
Z
0
¼
2
sinn¡1 µ dµ
を示せ．
¼
; = 0 をみたす n と a の値を求めよ．
2
¼
(3) (2) で求めた n と a に対して，f # ; を求めよ．
2
(2) f0 #
（北海道大学 2015 ）
5
関数 f(x) = xex について，次の問いに答えよ．
座標空間内に，原点 O(0; 0; 0) を中心とする半
6
径 1 の球がある．下の概略図のように，y 軸の負
¼
の方向から仰角
で太陽光線が当たっている．
6
p
この太陽光線はベクトル (0; 3; ¡1) に平行で
(1) 関数 y = f(x) について，増減および凹凸を
ある．球は光を通さないものとするとき，以下
調べ，そのグラフをかけ．ただし，必要ならば
lim xex = 0 を用いてもよい．
Z
Z
x
(2) 不定積分
xe dx， x2 e2x dx をそれぞれ
x!¡1
の問いに答えよ．
求めよ．
(3) 0 5 t 5 1 に対し g(x) = f(x) ¡ f(t) とおく．
0 5 x 5 1 の範囲で，曲線 y = g(x) と x 軸で
はさまれる部分を，x 軸のまわりに 1 回転して
できる回転体の体積を V(t) とする．V(t) を求
めよ．
(4) (3) の V(t) が最小値をとるときの t の値を a と
する．最小値 V(a) と，f(a) の値を求めよ．た
だし，a の値を求める必要はない．
（金沢大学 2015 ）
(1) 球の z = 0 の部分が xy 平面上につくる影を考
える．k を ¡1 < k < 1 を満たす実数とすると
き，xy 平面上の直線 x = k において，球の外
で光が当たらない部分の y 座標の範囲を k を用
いて表せ．
(2) xy 平面上において，球の外で光が当たらない
7
a は実数とし，2 つの曲線
部分の面積を求めよ．
(3) z = 0 において，球の外で光が当たらない部分
の体積を求めよ．
C1 : y = (x ¡ 1)ex ;
C2 : y =
1 2
x +a
2e
がある．ただし，e は自然対数の底である．C1
（九州大学 2015 ）
上の点 (t; (t ¡ 1)et ) における C1 の接線が C2
に接するとする．
(1) a を t で表せ．
(2) t が実数全体を動くとき，a の極小値，および
そのときの t の値を求めよ．
（北海道大学 2015 ）

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