2015年度数学 A 期末試験解答以下の問いに答えよ. [1] 次の函数 f(x

２０１５年度数学 A 期末試験解答
以下の問いに答えよ.
[1] 次の函数 f (x) の原始函数 F (x) を求めよ. (20 点/100)
1
1
(1) f (x) = x +
(2) f (x) = √
x
1 − x2
3
2x
(3) f (x) = xex
(4) f (x) = 2
x −x
(2) F (x) = sin−1 x
答え (1) F (x) = 12 x2 + log|x|
(3) F (x) = xex − ex
(4) F (x) = x2 + 2x + 2log|x − 1|
[2] 次の定積分の値を求めよ
. (20 点/100)
∫ 1
∫ 1
5x
(1)
e dx
(2)
(2x − 1)10 dx
∫0 π/2
∫ 0e
(3)
cos5 x dx
(4)
logx dx
0
答え (1)
1
1 5
(e − 1)
5
(2)
1
11
(3)
8
15
(4) 1
[3] 次の偏微分 fx と fxy を計算せよ. (20 点/100)
√
y
(1) f (x, y) = x2 + y 2
(2) f (x, y) = cos−1
x
(注: cos−1 は cos の逆函数とする)
x
答え (1) fx = √
x2 + y 2
−y
(2) fx = √
x x2 − y 2
−xy
√
(x2 + y 2 ) x2 + y 2
−x
√
=
(x2 − y 2 ) x2 − y 2
fxy =
fxy
[4] 以下の文章の空白部分を埋めよ. (25 点/100)
2 回偏微分可能で 2 階偏導関数が連続である 2 変数函数 f (x, y) を考え
る. 点 (a, b) で f (x, y) が極値をとるためには, 1 階導関数 fx と fy によっ
て, (1) なる等式が成り立つことが必要である. (1) の条件をみたす点
a, b において f (x, y) が極値を取るか判定するには, (2) なる式で定義さ
れる函数 D(x, y) が大事な役割を演じる. 実際, 条件 (1) をみたす点
(a, b) において D(a, b) が (3) なる不等式をみたせば点 (a, b) で f (x, y)
が極値をとる. このとき, さらに例えば (4) なる不等式が成り立てば,
その極値は極大値となる. D(a, b) = 0 のときは, 極値をとるかとらない
かはわからないが, 例えば (5) なる式で与えられる函数 f (x, y) を考え
ると, 点 (0, 0) で条件 (1) をみたし, D(0, 0) = 0 となるが, f (0, 0) は極
大値となる.
答え (1) fx (a, b) = fy (a, b) = 0
(3) D(a, b) < 0
2
(2) D(x, y) = fxy
− fxx fyy
(4) fxx (a, b) < 0
(5) f (x, y) = −x2n − y 2n (n は 2 以上の整数)
[5] 函数 f (x, y) = x3 + x2 + y 2 が極値をとる全ての点の座標と極値を
(「点 (3, 3) で極大値 0 をとる」という要領で）答えよ. (15 点/100)
(解答) fx (x, y) = 3x2 + 2x, fy (x, y) = 2y なので, fx (a, b) = fy (a, b) = 0
となるのは, (a, b) = (0.0), (− 32 , 0) のみである.
fxx = 6x + 2, fxy = 0, fyy = 2 なので, D(x, y) = −4(3x + 1) である.
D(0, 0) < 0, D(− 32 , 0) > 0 より, f (x, y) は (0.0) で極値をとり, (− 23 , 0)
では極値をとらない. また, fxx (0, 0) > 0 より (0, 0) での極値は極小値
である.
答え点 (0, 0) で極小値 0 をとる.

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