数学解析 II 宿題６ 2014 後、担当：梅原、電シ（水 1-2）、電物（水 3-4）[06]
マルせよ→（電シ・電物）学籍番号
氏名
注意事項
1. この用紙を用いること。講義 web ページ（http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/umehara/lecture2014 2.html）か
らプリントアウトしてもよい。その場合, A4 で両面印刷にすること。紙を付け足す場合も A4 用紙を用いること。
指定を守らない物は原則として受け取らない。
2. 略解（解説）を講義 web ページに掲載します。独力で解いたあと、略解を見て自分で添削を済ませること。添削
の際は、自分なりの学習の跡を残すことが大切です。また、質問を書き込んでもよいです。
3. 今回の宿題の提出期限は
2014 年 11 月 25 日（火）13:00 とします。提出先：A209 のポスト
問 1 二変数関数 f (x, y) に, x = a+ht, y = b+kt
問2
関数
を代入し, 合成関数
f (x, y) =
z = f (a + ht, b + kt)

 √ xy
2
· · · (x, y) ̸= (0, 0)

· · · (x, y) = (0, 0)
x +y 2
0
3
を作る. ただし, a, b, h, k は定数とし, f は C 級
について,
の関数とする. このとき, 合成関数の微分により,
d2 z
dt2
(1) (x, y) ̸= (0, 0) のときの fx (x, y) を計算せよ.
= h2 fxx + 2hkfxy + k 2 fyy
となることは授業中に確かめた. 同じ要領で,
(2)
d3 z
dt3
を計算せよ.
=
d
dt
= h2
= h2
dx
dt
(
dy
dt
= h,
= k に注意する.
h2 fxx + 2hkfxy + k 2 fyy
d(fxx )
dt
{
+ 2hk
∂(fxx ) dx
∂x
dt
{
+ 2hk
+k
2
+
d(fxy )
dt
+
∂(fyy ) dx
∂x
dt
x +y
=
∂(fxy ) dy
∂y
dt
+
[解答例（解説）] (1) (x, y) ̸= (0, 0) のとき,
√ 2 2 1 2x
(
)
x +y −x· 2 √ 2 2
xy
x +y
fx = √ 2 2
=y·
x2 +y 2
d(fyy )
dt
∂(fxx ) dy
∂y
dt
∂(fxy ) dx
∂x
dt
{
+ k2
}
)
}
∂(fyy ) dy
∂y
dt
x
3
y√
(x2 +y 2 ) x2 +y 2
(2) (x, y) ̸= (0, 0) のとき, x = r cos θ, x = r sin θ
とおくと,
}
fx =
r 3 sin3 θ
r3
ると fx → 0 であり, θ を θ =
+ 2hk(hfxyx + kfxyy )
π
2
に固定して r → 0
にすると fx → 1 である. このように, r → 0 のと
+ k 2 (hfyyx + kfyyy )
きの結果が θ (= 方角) に依って変わるので, 問わ
= h3 fxxx + h2 k(fxxy + 2fxyx )
れている極限値は存在しない.
+ hk 2 (2fxyy + fyyx ) + k 3 fyyy
(3) 偏微分係数の定義にしたがうと,
となる. ここで, f が C 3 級なので, fxyx = fxxy ,
fx (0, 0) = lim
fyyx = fxyy が成り立つから,
h→0
f (0+h,0)−f (0,0)
h
√ h·0
= h3 fxxx + 3h2 kfxxy + 3hk 2 fxyy + k 3 fyyy
= lim
h→0
となる. これが答えである. また, この結果を,
(
∂3
d3 z
3 ∂3
2
dt3 = h ∂x3 + 3h k ∂x2 ∂y
)
2 ∂3
3 ∂3
+ 3hk ∂x∂y2 + k ∂y3 f
(
)3
∂
∂
= h ∂x
+ k ∂y
f
と書き表すのもよい.
あ
= sin3 θ.
よって, 例えば θ を θ = 0 に固定して r → 0 にす
= h2 (hfxxx + kfxxy )
d3 z
dt3
fx (x, y) を調べよ.
(3) fx (0, 0) を調べよ (値を求めよ).
(4) fx (x, y) は (x, y) = (0, 0) で連続か.
[解答例（解説）]
d3 z
dt3
lim
(x,y)→(0,0)
h2 +02
h
−0
= lim 0 = 0
h→0
なので, fx (0, 0) は存在して, 値は 0 である.
(4) (2) の極限が存在しないから, 等式
lim
(x,y)→(0,0)
fx (x, y) = fx (0, 0)
が成り立たない (右辺は存在して, 値は 0 なのだ
が). よって, fx は原点で連続ではない.
(終わり)
あ
1
(終わり)
を得る. x, y が含まれたままの式だが, これを答え
2
問3
f (x, y) = exy に対して,
としてかまわない.
(1) fx , fy を計算せよ.
(終わり)
あ
問4
(2) fxx , fxy , fyx を計算せよ.
(3) x = t2 , y = 1 − sin t を代入して, 合成関数
z = f (t2 , 1 − sin t)
dz
dt
を作る. 合成関数の微分により,
を求めよ. 結
[解答例（解説）]
果は, x, y が含まれたままでよい.
(4) 合成関数の微分により,
2
d z
dt2
d2 z
dt2
(終わり)
を求めよ. まず,
あ
= Afxx + Bfxy + Cfyy + Dfx + Efy
あ
の形を求めて, (1)(2) の結果を代入するとよい.
あ
あ
あ
2
[解答例（解説）] (1) fx = y 2 exy , fy = 2xyexy
2
あ
2
あ
2
(2) fxx = y 2 · y 2 exy = y 4 exy ,
fxy = 2ye
xy 2
xy 2
+ y · 2xye
2
xy 2
fyx = 2y(xe
xy 2
)x = 2y(e
あ
xy 2
= 2ye
(1 + xy ),
2 xy 2
+x·y e
2
あ
あ
)
あ
2
= 2yexy (1 + xy 2 )
あ
※ fyx = fxy が成立. この f は C ∞ 級である.
dx
dt
(3)
= 2t,
の微分により,
dz
dt
=
あ
= − cos t に注意する. 合成関数
dy
dt
あ
あ
∂f dx
∂x dt
+
あ
∂f dy
∂y dt
あ
= fx · 2t + fy · (− cos t)
2
あ
2
= y 2 exy · 2t + 2xyexy · (− cos t)
あ
2
= 2yexy (ty − x cos t)
あ
あ
(4) 上で得た式
dz
dt
あ
= 2tfx − cos t · fy
あ
を, もう一度 t で微分しよう. すると,
d2 z
dt2
=
d
dt
あ
あ
(2tfx − cos t · fy )
あ
d(f )
y
x)
= 2fx + 2t d(f
dt + sin t · fy − cos t dt
}
{
∂(fx ) dy
x ) dx
= 2fx + 2t ∂(f
∂x dt + ∂y dt
}
{
∂(f )
∂(fy ) dy
+ sin t · fy − cos t ∂xy dx
+
dt
∂y dt
あ
あ
あ
あ
あ
= 4t fxx − 4t cos t · fxy + cos t · fyy
2
2
あ
+ 2fx + sin t · fy
あ
あ
となる. この式に, (1)(2) で計算した fx , fy , fxx ,
あ
—– 通信欄（授業や宿題に関して何かあれば） ——
あ
fxy を代入すればよい. fyy だけは計算していな
かったので, ここで計算すると,
fyy = 2x(1 + 2y 2 )exy
あ
2
あ
となるから, これらを代入して整理して,
{ 2 4
d2 z
xy 2
2t y − 4ty(1 + xy 2 ) cos t
dt2 = 2e
あ
あ
}
+ x(1 + 2xy 2 ) cos2 +y 2 + xy sin t
あ
あ
2