経済数学演習問題解答例 (簡易版)

経済数学演習問題解答例 (簡易版)
解答は詳細版と簡易版の二種類を準備しました. とりあえずこちら (簡易版) を用
いて答え合わせすることを勧めます. どうしても分からない問題だけ, 詳細版をご利
用ください.
はじめに
できて欲しいと思う問題を作成し配布しましたが, かなりの問題量ですのですべて
解く必要はありません. とりあえず演習問題のうち, 次の問題に取り組んでみてくだ
さい. 手のつけ方が分からない問題については, 毎回の授業で配っているプリントの
復習すべき場所を書いておきますので, その部分を復習するようにしてください.
• 1(−→2–3 ページ)
• 2 の (1)–(8)(−→4–6 ページ)
• 3 の (2)(−→7–8 ページ)
• 4 と 5 それぞれの (1) と (3)(−→9–10 ページ, 13 ページ)
• 6 の (1)(−→13–14 ページ)
• 7 の (2)(−→17–18 ページ)
• 8 の (1), (2)(−→21–22 ページ)
上記問題ぐらいできていれば, 定期試験でもそこそこの点数を取ることができると思
います.
逆に, 自信のある人のみ手をつけてほしい問題は次の問題になります.
• 2 の (9)–(11) および 4 の (5)(−→ 合成関数の微分法が必要)
• 4 の (2)(−→ 計算がかなり大変)
• 4 の (5) および 6 の (5), (6)(−→ 合成関数の微分法が必要)
• 8 の (3)(−→ 計算がかなり大変, 実質的に合成関数の微分法が必要)
• 8 の (4)(−→ 合成関数の微分法が必要)
合成関数の微分法を必要とする問題を定期試験に出題するかもしれませんが, 配点は
さほど大きくならないようにしたいと思います.
演習問題の答え合わせにご利用ください. どうしても答えが合わない場合, こちら
が間違っているかもしれません. その際は教えていただけると助かります.
1
1. n = 7.
2. (9)–(11) は合成関数の微分法が必要な問題です.
1
1
(1) f ′ (x) = 2x − 3, (2) f ′ (x) = x2 + , (3) f ′ (x) = 2x − √ ,
2
2 x
1
3
8
(4) f ′ (x) = ex − , (5) f ′ (x) = − 2 + 3 , (6) f ′ (x) = 3x2 log x + x2 ,
x
x
x
2
−
x
+
1
log
x
−1
2
′
(7) f ′ (x) = 2
,
(8)
f
(x)
=
, (9) f ′ (x) = 2xex ,
(x + 1)2
(log x)2
2x + 1
, (11) f ′ (x) = 8052x3 (x4 + 1)2012 .
(10) f ′ (x) = 2
x +x+1
3. (1) y = 1.
1
(2) y = (x − 1) + 1.
2
(3) y = x − 1.
4. 極大値・極小値のみ答えを記します.
(1) f (x) は x = −1 で極大値 3 を, x = 1 で極小値 −1 を取り, 他の x では極値を取ら
ない.
√
√
√
√
−3− 5
−13−5 5
5
(2) x = −3+2 5 で極大値 −13+5
を
,
x
=
で極小値
を, x = 0 で極小値
2
2
2
−1 を取り, 他の x で極値を取らない.
(3) f (x) は x = 43 で極小値 229
を取り, 他の x では極値を取らない.
256
(4) x = 1 で極小値 e を取り, 他の x では極値を取らない.
(5) f (x) は x = 0 で極小値 0 を取り, 他の x では極値を取らない.
5. (3) について, f (x) は x = 0 では極値を取るか, 二階の条件からは判定不能. 他は
4 と同じ解答になる.
6. (1) fx (x, y) = 2x − 3y, fy (x, y) = −3x + 4y,
fxx (x, y) = 2, fxy (x, y) = fyx (x, y) = −3, fyy (x, y) = 4.
(2) fx (x, y) = yex + xyex , fy (x, y) = xex ,
fxx (x, y) = 2yex + xyex , fxy (x, y) = fyx (x, y) = ex + xex ,
(3) fx (x, y) = log y,
x
fy (x, y) = ,
y
2
fyy (x, y) = 0,
fxx (x, y) = 0,
(4) fx (x, y) =
1
fxy (x, y) = fyx (x, y) = ,
y
y(−x2 + y 2 + 1)
2x
,
2
x2 + y
2(−x2 + y 2 )
fxx (x, y) =
,
(x2 + y 2 )2
2(x2 − y 2 )
fyy (x, y) = 2
.
(x + y 2 )2
fy (x, y) =
1
y2
.
x(x2 − y 2 + 1)
,
(x2 + y 2 + 1)2
(x2 + y 2 + 1)2
2xy(x2 − 3y 2 − 3)
− x4 + 6x2 y 2 − y 4 + 1
fxx (x, y) =
, fxy (x, y) = fyx (x, y) =
,
(x2 + y 2 + 1)3
(x2 + y 2 + 1)3
2xy(−3x2 + y 2 − 3)
.
fyy (x, y) =
(x2 + y 2 + 1)3
(5) fx (x, y) =
,
fyy (x, y) = −
fy (x, y) =
2y
x2 + y 2
,
fxy (x, y) = fyx (x, y) = −
4xy
(x2 + y 2 )2
,
(6) fx (x, y) = −2xe−x −y , fy (x, y) = −2ye−x −y ,
2
2
2
2
fxx (x, y) = (4x2 − 2)e−x −y , fxy (x, y) = fyx (x, y) = 4xye−x −y ,
2
2
fyy (x, y) = (4y 2 − 2)e−x −y .
2
2
7. (1) z = 2(x − 1) + 2(y − 1) + 2,
2
2
(2) z = −4x + 12(y − 2) + 3.
8. (1) f (x, y) は (x, y) = (1, 1) で極大値 1 を取り, 他の (x, y) では極値を取らない.
(2) f (x, y) は (x, y) = ( 23 , 49 ) で極小値 27
を取り, 他の (x, y) では極値を取らない.
16
1
(3) f (x, y) は (x, y) = (1, 0) で極大値 2 を, (x, y) = (−1, 0) で極小値 − 21 を取り, 他の
(x, y) では極値を取らない.
(4) f (x, y) は (x, y) = (0, 0) で極小値 0 を取り, 他の (x, y) では極値を取らない.
3

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