微分積分 II 2014/10/24 1/3 問題次の関数の極値を求めよ。 (i) (iii) f (x, y) = x2 + y 2 + 2x − 4y f (x, y) = x2 + y 3 (ii) (iv) f (x, y) = x2 − y 2 + 2x − 4y f (x, y) = x2 + y 4 解答 (i) { } ∂ ∂ f (x, y) = x2 + y 2 + 2x − 4y ∂x ∂x = 2x + 2 { } ∂ ∂ 2 2 f (x, y) = fy (x, y) = x + y + 2x − 4y ∂y ∂y = 2y − 4 fx (x, y) = ここで、 { { fx (x, y) = 0 2x + 2 = 0 つまり、 fy (x, y) = 0 2y − 4 = 0 を満たすものが極値の候補となり、ヘッセ行列を用いて極値を判定することになる。 (x, y) = (−1, 2) ヘッセ行列の計算のために、 { } ∂ ∂ fx (x, y) = 2x + 2 ∂x ∂x =2 { } ∂ ∂ fxy (x, y) = fx (x, y) = 2x + 2 ∂y ∂y =0 { } ∂ ∂ fyx (x, y) = fy (x, y) = 2y − 4 ∂x ∂x =0 { } ∂ ∂ fyy (x, y) = fy (x, y) = 2y − 4 ∂y ∂y =2 fxx (x, y) = よって、 { }2 ∆(−1, 2) = Hf (−1, 2) = fxx (−1, 2) × fyy (−1, 2) − fxy (−1, 2) =2×2−0=4>0 さらに、fxx (−1, 2) = 2 > 0 であるから、関数 f (x, y) は点 (-1,2) において、極小となり、極小値は、 f (−1, 2) = 1 + 4 − 2 − 8 = −5 となる。 (ii) fx (x, y) = { } ∂ ∂ f (x, y) = x2 − y 2 + 2x − 4y ∂x ∂x 1/3 微分積分 II 2014/10/24 2/3 = 2x + 2 { } ∂ ∂ fy (x, y) = f (x, y) = x2 − y 2 + 2x − 4y ∂y ∂y = −2y − 4 ここで、 { { fx (x, y) = 0 2x + 2 = 0 つまり、 fy (x, y) = 0 −2y − 4 = 0 を満たすものが極値の候補となり、ヘッセ行列を用いて極値を判定することになる。 (x, y) = (−1, −2) ヘッセ行列の計算のために、 ∂ fx (x, y) = ∂x ∂ fxy (x, y) = fx (x, y) = ∂y ∂ fyx (x, y) = fy (x, y) = ∂x ∂ fyy (x, y) = fy (x, y) = ∂y fxx (x, y) = { } ∂ 2x + 2 = 2 ∂x { } ∂ 2x + 2 = 0 ∂y { } ∂ −2y − 4 = 0 ∂x { } ∂ −2y − 4 = −2 ∂y よって、 { }2 ∆(−1, −2) = Hf (−1, −2) = fxx (−1, −2) × fyy (−1, −2) − fxy (−1, −2) = 2 × (−2) − 0 = −4 < 0 関数 f (x, y) は点 (-1,-2) において、極値をとらない。 (iii) { } ∂ ∂ 2 3 fx (x, y) = f (x, y) = x +y ∂x ∂x = 2x { } ∂ ∂ fy (x, y) = f (x, y) = x2 + y 3 ∂y ∂y = 3y 2 ここで、 { { fx (x, y) = 0 2x = 0 つまり、 fy (x, y) = 0 3y 2 = 0 を満たすものが極値の候補となり、ヘッセ行列を用いて極値を判定することになる。 (x, y) = (0, 0) ヘッセ行列の計算のために、 ∂ fx (x, y) = ∂x ∂ fxy (x, y) = fx (x, y) = ∂y ∂ fyx (x, y) = fy (x, y) = ∂x fxx (x, y) = { } ∂ 2x = 2 ∂x { } ∂ 2x = 0 ∂y { } ∂ 3y 2 = 0 ∂x 2/3 微分積分 II 2014/10/24 fyy (x, y) = 3/3 { } ∂ ∂ fy (x, y) = 3y 2 = 6y ∂y ∂y よって、 { }2 ∆(0, 0) = Hf (0, 0) = fxx (0, 0) × fyy (0, 0) − fxy (0, 0) =2×0−0=0 関数 f (x, y) は点 (0, 0) において、極値をとらない。 (iv) { } ∂ ∂ f (x, y) = x2 + y 4 ∂x ∂x = 2x { } ∂ ∂ f (x, y) = x2 + y 4 fy (x, y) = ∂y ∂y fx (x, y) = = 4y 3 ここで、 { { fx (x, y) = 0 2x = 0 つまり、 fy (x, y) = 0 4y 3 = 0 を満たすものが極値の候補となり、ヘッセ行列を用いて極値を判定することになる。 (x, y) = (0, 0) ヘッセ行列の計算のために、 ∂ fx (x, y) = ∂x ∂ fxy (x, y) = fx (x, y) = ∂y ∂ fyx (x, y) = fy (x, y) = ∂x ∂ fyy (x, y) = fy (x, y) = ∂y fxx (x, y) = { } ∂ 2x = 2 ∂x { } ∂ 2x = 0 ∂y { } ∂ 4y 3 = 0 ∂x { } ∂ 4y 3 = 12y 2 ∂y よって、 { }2 ∆(0, 0) = Hf (0, 0) = fxx (0, 0) × fyy (0, 0) − fxy (0, 0) =2×0−0=0 関数 f (x, y) は点 (0, 0) において、極値をとらない。しかし、関数 f (x, y) = x2 + y 4 を考えると、y の値を固定したとき、原点 (0,0) が極小となる関数であり、x を固定しそたとき、原点で極小になる下に凸な関数になることが分かる。よっｔ、原点 (0,0) において極小となり、極小値 f (0, 0) = 0 を持つことが分かる。 3/3