f (x, y) = x3 + y 3 − 9xy + 27 の極値を求めよ. 問解テイラー展開を使って考える。まず 1 位の無限小が消える点を探す。 fx = 3x2 − 9y = 0 fy = 3y 2 − 9x = 0 を解く。両辺を引いて x2 − y 2 + 3(x − y) = 0, (x − y)(x + y + 3) = 0 x = y のときは x2 − 3x = 0, x(x − 3) = 0 したがって x = y = 0 または x = y = 3. x + y + 3 = 0 のときは x2 + 3x + 9 = 0 で判別式 D = −27 < 0. 実解なし。 1 位の無限小が 0 になる点の周りでテイラー展開して, その点の周りの近傍での関数の振舞を調べる。 fxx = 6x, fxy = −9, fyy = 6y だから x = y = 0 の周りで 1 f (x, y) = f (3, 3) + 18(x − 3)2 − 18(x − 3)(y − 3) + 18(y − 3)2 + . . . 2! = 0 + 9 (x − 3)3 − (x − 3)(y − 3) + (y − 3)2 + . . . 判別式は D = 1 − 4 < 0 で, (x − 3)2 の係数が正だから, x = y = 3 で極小値 0 を取る。 x = y = 0 の周りで f (x, y) = f (0, 0) + −9 2(x − 0)(y − 0) + . . . = 27 − 9xy + . . . 2! この点は鞍点である。解説 f (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 のグラフは判別式 D = b2 − 4ac で判別できる。 D > 0 なら x = y = 0 は鞍点である。たとえば z = xy のグラフは次のような形をしている。 1 1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 -1 -0.5 0 0 0.5 -0.5 1 -1 a > 0 で D < 0 の場合、たとえば z = x2 + y 2 は次のような形をしている。 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 0.5 -1 -0.5 0 0 0.5 2 -0.5 1 -1