参考資料5

微分積分学および演習Ⅱ 参考資料 5
2015 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
■2 変数関数の極値問題定義 (臨界点) 偏微分可能な 2 変数関数 f (x, y) に対して
fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0
を満たす (f (x, y) の定義域 Df 内の) 点 (x0 , y0 ) を f (x, y) の臨界点 critical point と呼ぶ。
1 変数関数の場合と同様に、臨界点は f (x, y) の極値をとる点の候補となる。ところが 1 変数関
数の場合とは異なり 2 変数関数の場合には増減表を描くことが出来ない (!) ため、実際に極大値や
極小値をとるかを確認するのは一筋縄ではいかない。そこで、1 変数関数の場合には 2 階導関数の正
負 (グラフの凹凸) からも極大値、極小値を判定することが出来たことを踏まえて、2 変数関数の場
合も 2 階偏導関数を用いて極値の判定が出来るのではないかと画策してみよう。
定義 (ヘッセ行列、ヘッセ行列式) 2 階偏微分可能な 2 変数関数
f (x, y) に対して定まる 2 次正方行列
(
)
fxx (x, y) fxy (x, y)
Hf (x, y) =
fyx (x, y) fyy (x, y)
を f (x, y) のヘッセ行列 Hesse matrix と呼び、その行列式
ルートヴィッヒ・オットー・ヘッセ
hf (x, y) = det Hf (x, y) をヘッセ行列式 Hessian と呼ぶ。
注: 関数 f (x, y) が 2 階連続偏微分可能関数である場合、fxy (x, y) = fyx (x, y) が成り立つので、
t
Hf (x, y) = Hf (x, y) となる。つまり、2 階連続偏微分可能関数のヘッセ行列は対称行列
symmetric matrix となる。
定理 (2 変数関数の極値の判定)
点 (x0 , y0 ) を 2 階連続偏微分可能関数 f (x, y) の臨界点とする。
(1) hf (x0 , y0 ) < 0 となるとき、f (x0 , y0 ) は f (x, y) の極大値でも極小値でもない ( 鞍点 )
(2) hf (x0 , y0 ) > 0 となるとき、
(2-a) fxx (x0 , y0 ) > 0 ならば f (x0 , y0 ) は f (x, y) の極小値となる。
(2-b) fxx (x0 , y0 ) < 0 ならば f (x0 , y0 ) は f (x, y) の極大値となる。
注: hf (x0 , y0 ) = 0 のときは、f (x0 , y0 ) が極大値か極小値か (或いはどちらでもないか) は
Hf (x0 , y0 ), hf (x0 , y0 ) のみからは判断出来ない (!!)
■2 変数関数の極値判定のフローチャート
Start
関数 f (x, y) の入力
Step 1.
臨界点の計算
(まだ極値判定していない) 臨界点 (x0 , y0 ) を選ぶ
Yes
f (x0 , y0 ) は鞍点
Step 2.
hf (x0 , y0 ) > 0 ?
No
Yes
f (x0 , y0 ) は極大値
Step 3.
fxx (x0 , y0 ) > 0 ?
No
Yes
f (x0 , y0 ) は極小値
まだ未判定の
臨界値がある?
No
End
■極値判定法の証明 babababababababababababababababababab
【証明の方針】臨界点 (x0 , y0 ) のごく近くの点 (x, y) で
− 常に f (x, y) − f (x0 , y0 ) ≥ 0 なら f (x0 , y0 ) は極小値
− 常に f (x, y) − f (x0 , y0 ) ≤ 0 なら f (x0 , y0 ) は極大値
− f (x, y) − f (x0 , y0 ) >
< 0 のどちらも起こったら f (x0 , y0 ) は鞍点
となることに注意。
⇝ どれになるかをテイラーの近似定理を用いて調べよう!
臨界点 (x0 , y0 ) のまわりでの f (x, y) に対する 2 次の項までのテイラーの近似定理よ
【証明】
り、ある実数 0 < θ < 1 が存在して
(∗) : f (x, y) − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y
1
+ {fxx (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)(∆x)2 + 2fxy (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)∆x∆y
2
+ fyy (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y)(∆y)2 }
が成り立つ (但し ∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 とおいた)。ところで (x0 , y0 ) は臨界点なので、定
義から fx (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = 0 が成り立つ。また 2 階偏導関数の連続性から、近似的に
fxx (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y) ≈ fxx (x0 , y0 ),
fxy (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y) ≈ fxy (x0 , y0 ),
fxx (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y) ≈ fxx (x0 , y0 )
· · · (⋆)
が (非常に小さい θ に対して) 成り立つ。これらを (∗) 式に代入して
1
f (x, y) − f (x0 , y0 ) ≈ {fxx (x0 , y0 )(∆x)2 + 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y + fyy (x0 , y0 )(∆y)2 }
2
を得る。このことと【証明の方針】での考察を踏まえると、結局 f (x0 , y0 ) が極値であるかどうかは
(∆x, ∆y に関する) 2 次式 fxx (x0 , y0 )(∆x)2 + 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y + fyy (x0 , y0 )(∆y)2 の
∆x, ∆y を動かしたときの値の正負
を調べることによって判定出来ることが分かる。
ここで例えば ∆y ̸= 0 と仮定すると
fxx (x0 , y0 )(∆x)2 + 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y + fyy (x0 , y0 )(∆y 2 )
{
}
(
)2
∆x
∆x
2
+ 2fxy (x0 , y0 ) ·
+ fyy (x0 , y0 )
= (∆y) fxx (x0 , y0 )
∆y
∆y
となるので、この値が ∆x, ∆y を動かしたときに常に正となるか負となるかを調べるのは 2 次
関数 g(t) = fxx (x0 , y0 )t2 + 2fxy (x0 , y0 )t + fyy (x0 , y0 ) が常に正の値をとるか負の値をとるか
を調べることに他ならない。これは判別式を用いて調べられる (高校の『数学Ⅰ』の範囲!)。
そこで 2 次方程式 g(t) = 0 の判別式 D (の 4 分の 1 倍) を計算してみると
D/4 = {fxy (x0 , y0 )}2 − fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) = − hf (x0 , y0 )
となり、ヘッセ行列式が登場することを観察しよう。
(ア) fxx (x0 , y0 ) ̸= 0 のとき
fxx (x0 , y0 ) で括ってから平方完成して
fxx (x0 , y0 )(∆x)2 + 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y + fyy (x0 , y0 )(∆y)2
(
)2
fxy (x0 , y0 )
fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − {fxy (x0 , y0 )}2
= fxx (x0 , y0 ) ∆x +
∆y +
fxx (x0 , y0 )
fxx (x0 , y0 )
(
)2
hf (x0 , y0 )
fxy (x0 , y0 )
∆y +
= fxx (x0 , y0 ) ∆x +
fxx (x0 , y0 )
fxx (x0 , y0 )
を得る。したがって fxx (x0 , y0 )(∆x)2 + 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y + fyy (x0 , y0 )(∆y 2 ) の値は
− fxx (x0 , y0 ) > 0 かつ hf (x0 , y0 ) > 0 のとき常に正
(⇝ 極小値 )
− fxx (x0 , y0 ) < 0 かつ hf (x0 , y0 ) > 0 のとき常に負
(⇝ 極大値 )
− hf (x0 , y0 ) < 0 のときは正にも負にもなる
(⇝ 鞍点 )
となる。
(イ) fyy (x0 , y0 ) ̸= 0 のとき
fyy (x0 , y0 ) で括ってから平方完成して (ア) と同様に計算すると、
2
fxx (x0 , y0 )(∆x) + 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y + fyy (x0 , y0 )(∆y)2 の値は
− fyy (x0 , y0 ) > 0 かつ hf (x0 , y0 ) > 0 のとき常に正
(⇝ 極小値 )
− fyy (x0 , y0 ) < 0 かつ hf (x0 , y0 ) > 0 のとき常に負
(⇝ 極大値 )
− hf (x0 , y0 ) < 0 のときは正にも負にもなる
(⇝ 鞍点 )
となる (各自確認すること)。(ア) とは違って fyy (x0 , y0 ) の符号による場合分けが現れるが、
hf (x0 , y0 ) > 0 のときには
fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) > fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − {fxy (x0 , y0 )}2 = hf (x0 , y0 ) > 0
となり、fxx (x0 , y0 ) の符号が自動的に fyy (x0 , y0 ) の符号と等しくなってしまうことに注意
しよう。
(ウ) fxx (x0 , y0 ) = fyy (x0 , y0 ) = 0 のとき
hf (x0 , y0 ) = −{fxy (x0 , y0 )}2 より、hf (x0 , y0 ) ̸= 0 と
仮定すると hf (x0 , y0 ) < 0 である。特に fxy (x0 , y0 ) ̸= 0 である。このとき
fxx (x0 , y0 )(∆x)2 + 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y + fyy (x0 , y0 )(∆y)2 = 2fxy (x0 , y0 )∆x∆y
は、∆x, ∆y を適当に定めれば正にも負にもなる
(⇝ 鞍点 )
以上の場合分けを整理すると定理の通りとなる。
□
注: f (x, y) − f (x0 , y0 ) の符号が問題となっているため、実際には 2 階偏導関数の連続性による近
似 (⋆) の誤差についてももう少し真面目に考察すべきである。気になる人は、例えば三宅
敏恒著『入門微分積分』(培風館) の定理 4.3.4 の証明などを参照して下さい。

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