微分積分 2 及び演習 第 7 回演習
第 7 回演習問題：テキスト p.178∼179 問題 A 1. 全部，p.179 問題 B 1.(1)(3)(5)，下の追加問題です．
(ヒント) p.179 問題 B 1.(1)(3)(5) と追加問題はこのプリントの例題を参考にせよ．
追加問題. 関数 f (x, y) = x4 + y 2 + 2x2 − 4xy + 2 の極値を求めよ．
(答) 点 (1, 2) で極小で極小値 1，点 (−1, −2) で極小で極小値 1
例題. 関数 f (x, y) = x3 − 9xy + y 3 + 18 の極値を求めよ．
(解答例) まず停留点を求める．
fx = 3x2 − 9y = 3(x2 − 3y),
fy = −9x + 3y 2 = 3(−3x + y 2 )
であり，停留点 (x, y) は fx (x, y) = fy (x, y) = 0 を満たすので
{
x2 − 3y = 0 · · · °
1
−3x + y 2 = 0 · · · °
2
x4
x2
··· °
1 0 . これを °
2 に代入して, −3x +
= 0 より x4 − 27x = 0. ∴ x(x3 − 27) = 0.
3
9
∴ x = 0, 3. よって, °
1 0 より停留点は (x, y) = (0, 0), (3, 3)．
次に fxx = 6x, fxy = −9, fyy = 6y より (2 次近似式の) 判別式 ∆ は
°
1 より y =
∆ = (fxy )2 − fxx · fyy = (−9)2 − 6x · 6y = 81 − 36xy.
∆(0, 0) = 81 > 0 より点 (0, 0) は鞍点で極値を取らない (テキスト p.175 定理 38.2(2) 参照)．
一方，∆(3, 3) = −243 < 0, fxx (3, 3) = 18 > 0 より点 (3, 3) で極小値 f (3, 3) = 27−81+27+18 = −9
を取る (テキスト p.175 定理 38.2(1) 参照)．

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