番号授業科目名曲線と曲面の幾何学１１３英語表記 Geometry of Curves and Surfaces 開講期単位数担当教員名後期年次２単位加藤信２年次【授業の到達目標及びテーマ】１年次から２年次前期にかけて、線型代数I,II,代数学I,解析I,II,解析学I において、高次元の空間の取り扱いや、その間の線型写像、多変数関数の偏微分、全微分や重積分等について学んで来た学生諸君は、この科目において、平面曲線及び３次元空間内の曲線、曲面の様々な性質について学びながら、これまで学んで来たことの具体的かつ身近な応用例を体験することができる。これら曲線及び曲面は、由緒正しい古典的研究対象であり、後に微分幾何学I で学ぶ多様体の１、２次元の場合に相当するのであるが、低次元に固有の必ずしも高次元より易しいとは限らない特殊性をも併せ持っていることから、今日なお盛んな研究がなされている対象でもある。この教科では、２年次前期までの知識のみを仮定して理解することのできる比較的基本的な内容に絞り話を進めるが、その内にも現代数学の礎となったものの見方に、触れることができるであろう。【授業の概要】具体的な内容としては、線型代数の応用として座標変換、二次曲線の分類、３次元ベクトルの外積、微積分の応用として曲線の長さについてまず解説する。ここまでを基本として、さらに古典的な曲線論、曲面論並びに非ユークリッド幾何学からいくつかのトピックを選んで解説する。【授業計画】第１回座標変換第２回二次曲線の分類第３回平面曲線の曲率第４回弧長媒介変数表示、曲率の意味第５回３次元ベクトルの外積、直交行列第６回空間曲線の曲率と捩率第７回 Frenet-Serret の定理第８回曲線の問題演習第９回曲面の曲率第１０回極小曲面、定曲率曲面の例第１１回曲面上の曲線、測地曲率第１２回平行移動第１３回 Gauss-Bonnet の定理第１４回双曲幾何の上半平面モデル第１５回曲面の問題演習【テキスト又は参考書】小林昭七「曲線と曲面の微分幾何」、小沢哲也「曲線・曲面と接続の幾何」他。ただし、担当教員によって変更される場合がある。【評価方法】レポート課題や定期試験などで総合的に評価する。【コメント】２年次前期までに学んだ微積分及び線型代数の内容を前提とした講義である。さらに常微分方程式や、同時進行の解析学Ⅱの内容も若干用いるが、それ以外の新しい道具は、極力使わないで解説したい。これまでの学習内容の具体的な応用例を扱っているので、上記の科目の中にあまり（或いは全然）わからなかった科目があると言う人も、この科目を通して、これまで理解が不十分であった内容を復習し、しっかり身につけてほしい。