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線型代数ノート 9
M. Kurihara
2015 年 6 月 22 日
長さが 1 で互いに直交する基底を正規直交基底と呼ぶ。
部分空間の基底が与えられたとき、シュミットの直交化法で正規直交基底
を作ることができる。
直交行列
実数を成分とする n 次行列 A が直交行列であるとは、A−1 = tA が成り
立つことである。
定理 1. A を n 次の行列とする。このとき、次は同値である。
(1) A は直交行列
(2) 任意の n 次ベクトル x, y に対して、Ax · Ay = x · y が成立する。
(3) 任意の n 次ベクトル x に対して、 Ax = x が成立する。
(4) A = (u1 ...un ) と書くとき、u1 ,...,un は Rn の正規直交基底である。
対称行列
n 次行列 A が対称行列であるとは、tA = A が成り立つことである。
定理 2. A を実数を成分とする対称行列とするとき、A の固有値はすべて実
数である。
定理 3. A を実対称行列とする。このとき、直交行列 P で P −1 AP が対角
行列となるものが存在する。このことを、A は直交行列で対角化可能である
と言う。
9-1.(1) A, B を共に直交行列とするとき、AB も直交行列であることを証
明せよ。
(2) A を直交行列とするとき、A−1 も直交行列であることを証明せよ。
⎛
⎞
2
0
a
3
⎜ 2
⎟
⎟ が直交行列となるように、a, b, c の値を定めよ。
√1
b
9-2. ⎜
⎝ 3
⎠
5
1
2
√
c
−
3
3 5
1
9-3. 次の行列 A の固有値を求め、直交行列で対角化せよ。
⎛
⎞
⎛
⎞
1 1
1
3 0 6
⎜
⎟
⎜
⎟
(1) A = ⎝ 1 1 −1 ⎠
(2) A = ⎝ 0 −3 6 ⎠
1 −1 −1
6 6 0
提出上記の練習問題を解いて、6 月 29 日のこの授業のときに提出すること
A4 レポート用紙に書くこと。名前、学籍番号、所属学科を忘れずに書くこと。
2

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