Année 2014/2015 TS ACP : Conditionnement et indépendance Enoncés REVISIONS DE 1S : loi binomiale Exercice 1 : Gratte-ciel Burj Khalifa, gratte-ciel le plus haut du monde (en 2010) situé à Dubaï compte 57 ascenseurs. La probabilité qu’un ascenseur tombe en panne un jour donné est de 0, 06. On considère que les pannes des ascenseurs sont indépendantes les unes des autres. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre d’ascenseurs en panne un jour donné. 1) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) Calculer et interpréter les résultats obtenus dans le contexte de l’exercice : a) pX  3 b) pX  2 c) EX SOUTIEN Exercice 2 (arbre pondéré et probabilités conditionnelles) Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1 % est porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants : - si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85 % des cas ; - si un animal est sain, le test est négatif dans 95 % des cas. On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note : - M l’évènement : "l’animal est porteur de la maladie" ; - T l’évènement : "le test est positif". 1) Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. 2) Un animal est choisi au hasard. a) Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? b) Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0, 058. 3) Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ? Exercice 3 (Indépendance) On extrait au hasard un jeton d’un sac contenant six jetons : trois rouge portant les numéros 1, 2 et 3 ; deux bleu portant les numéros 1 et 2 ; un vert portant le numéro 1. On considère les évènements : - R : "le jeton est rouge" - U : "le jeton porte le numéro 1" - D : "le jeton porte le numéro 2" 1) Les évènements R et U sont-ils indépendants ? 2) Même question pour R et D 3) Même question pour R et D 1 APPROFONDISSEMENT Exercice 4 (Formule de Bayes) 1) L’univers  désigne un ensemble fini et P une loi de probabilité sur . Les évènements B 1 , B 2 , . . . , B n forment une partition de l’univers . A est un évènement tel que PA  0. PB j   P B j A Démontrer que pour tout entier naturel j de 1 ; n , P A B j   n .  PB k   P B A k k1 2) Application : Il y a 4 % d’absentéisme chez les employés travaillant de jour, 8 % chez ceux qui travaillent le soir et 22 % chez ceux qui travaillent de nuit. Sachant qu’il y a 80 % des employés qui travaillent de jour, 10 % qui travaillent de soir et 10 % qui travaillent de nuit, déterminer la probabilité qu’un employé donné travaille de jour sachant qu’il était absent du travail. Exercice 5 (Jeu de Monty Hall) Le jeu oppose un présentateur à un candidat. Ce candidat est placé devant trois portes fermées. Derrière l’une d’elle se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Le candidat doit tout d’abord choisir une porte (sans l’ouvrir), puis le présentateur ouvre une porte qui n’est ni celle choisie par le candidat ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début du jeu). Que doit faire le candidat : maintenir son choix ou changer de porte ? 2