S13 - Université de Fribourg

Série 13
INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS
SA 2014
Université de Fribourg
Prof. Dr. Jean-Pierre Gabriel
à rendre : mardi, 16 décembre 2014, 12h00
Exercice 1 (TLC)
Nous considérons n jets indépendants d’une pièce symétrique et notons S n le nombre de réalisations
de pile dans ceux-ci.
a) A partir de quelle valeur de n peut-on appliquer le TLC à S n ?
µ
¶
¡
p p ¢
S n − n2
n
p
b) Vérifier que P
n] .
n ∈ [−2, 2] = P S n − 2 ∈ [− n,
4
¡
p
p ¢
c) Evaluer P S n ∈ [ n2 − n, n2 + n] pour n = 100 000.
Exercice 2 (Fonction monotone d’une v.a. absolument continue)
Soit I ⊆ R un intervalle ouvert et X une v.a. réelle avec densité f X continue sur I . Soit g une fonction
réelle définie sur I et continûment dérivable avec dérivée g 0 (x) 6= 0 pour tout x ∈ I . Nous nous intéressons à la densité de la v.a. Y = g (X ).
Par continuité, g 0 est soit toujours strictement positive, soit toujours strictement négative sur I et donc
soit strictement croissante, soit strictement décroissante. Dans les deux cas, elle possède une fonction
inverse sur son image que nous noterons h = g −1 . Nous traitons le cas "strictement croissante", le second découlant d’une adaptation de la première démarche. La fonction de répartition F Y de Y peut donc
s’écrire
F Y (y) = P (g (X ) É y) = P (X É h(y)) = F X (h(y)).
Le calcul différentiel nous fournit h 0 (y) =
1
g 0 (h(y))
et la densité de Y est alors donnée par
f Y (y) = F Y0 (y) = f X (h(y))h 0 (y) =
f X (h(y))
.
g 0 (h(y))
Pour le cas "strictement décroissante" le calcul conduit à :
f Y (y) = F Y0 (y) = f X (h(y))|h 0 (y)| =
a) Déterminer la densité de la v.a. Y =
p
f X (h(y))
.
|g 0 (h(y))|
X si X est une exponentielle de paramètre λ > 0.
b) Déterminer la densité de la v.a. Y = − log(X ) si X est uniformément distribuée sur l’intervalle (0, 1).
c) Déterminer la densité de la v.a. Y = e X si X = N (µ, σ). Dans ce cas, Y porte le nom de log-normale
de paramètres µ et σ.
Exercice 3 (Loi de Student)
2
a) Soit X 1¡, X 2 , ..., X n une famille
¢ n−1de2v.a. i.i.d. comme X d’espérance µ et de variance σ finie. Démontrer
1 Pn
2
que E n i =1 (X i − X¯ ) = n σ .
b) Dans le point qui précède, nous supposons que X ∼ N (µ, σ2 ). Vérifier que
c) Soit la variance empirique S 2 =
savoir Zi =
X i −µ
σ
1
n−1
Pn
i =1 (X i
X¯ −µ
pσ
n
∼ N (0, 1).
− X¯ )2 . Dans le cours, nous avons (i) standardisé les X i , à
∼ N (0, 1), et obtenu les relations
Z¯ =
X¯ − µ
,
σ
R 2 :=
n
X
i =1
(Zi − Z¯ )2 =
(n − 1)S 2
;
σ2
(ii) démontré l’indépendance de Z¯ et de R 2 ; (iii) vu que la loi de R 2 est donnée par la somme des
carrés de n − 1 v.a. indépendantes N (0, 1) i.e. une loi de χ2 (n − 1).
http://homeweb.unifr.ch/vinckenb/pub/Proba2014
Si l’on estime σ avec S, la v.a.
X¯ −µ
pσ
n
devient T =
X¯ −µ
pS
n
et est dénommée v.a. de Student à n − 1 degrés de
liberté. Cette fonction sera utilisée dans le T-test en statistique.
.q 2
X¯ −µ
R
Vérifier que la loi de T est donnée par celle du quotient pσ
n−1 dont le numérateur et le dénomn
q
χ2 (n−1)
inateur sont des v.a. indépendantes de lois respectives N (0, 1) et
n−1 .
p
d) Soit Z ∼ N (0, 1) et U ∼ χ2 (k), k ∈ N∗ (loi du χ), deux v.a. indépendantes. Vérifier que la densité du
couple (Z ,U ) est
µ ¶ k −1
1 2
1 2
1 2
1
1
u k−1 e − 2 u e − 2 z I (0,+∞) (u).
f (z, u) = p
k
2
2π Γ( 2 )
k
t 2 −1
Rappel: la densité de la loi de χ2 (k) est
2
k
2
e) Effectuer le changement de variables X =
Γ( k2 )
Z
U
p
k
t
e − 2 I [0,+∞) (t ).
, Y = U et montrer que la densité de ce couple est
µ ¶k −1
1
1 2 2 k − y 2 − x2 y 2
1
g (x, y) = p
y e 2 e 2k I (0,+∞) (y).
k
kπ Γ( 2 ) 2
f) En intégrant
R +∞
−∞
g (x, y)d y, on obtient la densité marginale g (x) de X . Vérifier que
g (x) =
Γ( k+1
2 )
Γ( k2 )
1
1
p
k+1
x
kπ (1 + 2 ) 2
k
On obtient ainsi la densité d’une loi de Student à k degrés de liberté.
Exercice 4 (Conditionnement)
Soit X une v.a. à valeurs dans N et A un événement. Le théorème des probabilités totales nous fourP
nit P (A)R = kÊ0 P (A|X = k)P (X = k). Cette formule s’étend à une v.a. absolument continue de densité
+∞
P (A) = −∞ P (A|X = x) f (x)d x (voir un cours avancé de probabilités).
On choisit trois points au hasard sur le cercle unité (chacun d’eux est uniformément distribué). Calculer
la probabilité de l’événement A = { les trois points appartiennent à un même demi-cercle }.
Hint: Introduire un repère dont l’origine est le centre du cercle. Sans restreindre la généralité, on peut
supposer que le premier point est sur l’axe positif et nous permet d’orienter le cercle. On mesure la
position d’un point avec l’angle au centre exprimé en radians et nous notons X la position du second
point. Déterminer (intuitivement) P (A|X = x) pour 0 É x < π et ensuite pour π < x É 2π puis en déduire
P (A) à l’aide de la formule ci-dessus.
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