MAT 2717 - T.P. 7

MAT 2717 - T.P. 7 - SOLUTIONNAIRE
Problème 7.1
Une ampoule à l'entrée d'un immeuble a un temps de vie de loi exponentielle
de moyenne 100 jours. Lorsqu'elle brûle, le concierge la remplace immédiatement pour une neuve. De plus, un employé qui s'occupe de l'entretien
journalier remplace l'ampoule par une neuve par mesure préventive selon
un processus de Poisson d'intensité 0,02 par jour. (a) Quel est le taux de
remplacement de l'ampoule? (b) Quelle est la probabilité que la prochaine
ampoule soit remplacée par le concierge?
Solution:
(a) 0,01 + 0,02 = 0,03;
(b) 0,01/0,03 = 1/3.
Problème 7.2
Un correcteur d'épreuves lit un manuscrit de 200 pages et relève 108 erreurs
typographiques. Supposons que l'auteur fasse des erreurs typographiques
selon un processus de Poisson d'intensité inconnue λ par page et que le correcteur en relève en moyenne 9 sur 10. Comment estimeriez-vous λ?
Solution:
Le nombre d'erreurs relevées par le correcteur est un processus de Poisson
d'intensité (9/10)×λ par page. Le nombre d'erreurs relevées par le correcteur
1
sur 200 pages est une variable de Poisson de paramètre et d'espérance 200 ×
(9/10) × λ. En égalisant cette espérance à 108, on obtient λ = 3/5.
Problème 7.3
Supposons que le prix d'une action d'une grande compagnie est à la hausse
(+) dès et aussi longtemps que la dernière nouvelle la concernant est bonne et
à la baisse (-) lorsqu'elle est mauvaise. De plus ces nouvelles arrivent selon un
processus de Poisson d'intensité 2 par jour et chacune d'elles est bonne avec
probabilité 2/3 ou mauvaise avec probabilité 1/3 indépendamment de toutes
les autres. Quel est le générateur de la chaîne de Markov pour le mouvement
(+ ou -) du prix de l'action de cette compagnie? Justier brièvement en
identiant bien les états.
Solution:
Pour les états à la hausse (+) et à la baisse (-), respectivement, le générateur
est
−2/3
2/3
4/3 −4/3
,
car le taux d'arrivée d'une mauvaise nouvelle est 2 × 1/3 = 2/3, alors que
le taux d'arrivée d'une bonne nouvelle est 2 × 2/3 = 4/3. Une autre façon
de voir cela est que le temps d'attente pour une mauvaise nouvelle est une
somme de variables aléatoires de loi exponentielle de paramètre 2 dont le
nombre est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre 1/3, donc
une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 2 × 1/3 = 2/3. De
même, le temps d'attente pour une bonne nouvelle est de loi exponentielle
de paramètre 2 × 2/3 = 4/3.
Problème 7.4
Un câble transatlantique prend un temps de loi exponentielle de paramètre
2 avant de subir un bris. Le temps de réparation est de loi exponentielle de
paramètre 5. En supposant deux câbles avec des temps de fonctionnement
et de réparation indépendants et deux équipes de réparation, quelle est la
2
probabilité que les deux câbles ne fonctionnent pas après un temps t étant
donné qu'ils fonctionnent tous les deux initialement?
Solution:
Le générateur pour le nombre de câbles qui fonctionnent (0, 1 ou 2) est


−10 10 0
A =  2 −7 5  .
0
4 −4
La matrice de transition de l'instant 0 à l'instant t est

P (t) = eAt = M eDt M −1

ev0 t 0
0
= M  0 ev1 t 0  M −1 ,
0
0 ev2 t
où D est la matrice diagonale des valeurs propres v0 , v1 , v2 de A et M la
matrice dont les colonnes sont des vecteurs propres à droite correspondants.
On trouve v0 = 0, v1 = −7, v2 = −14, et


1 −10 25
M = 1 −3 −10 ,
1 4
4
d'où

M −1

4 20 25
1 
−2 −3 5  .
=
49
1
2 1
Finalement, on calcule P20 (t) =
1
(4
49
− 8e−7t + 4e−14t ).
Problème 7.5
Dans une prison du Far West, les tentatives d'évasion surviennent selon un
processus de Poisson d'intensité 1 par 4 mois, mais elles réussissent seulement
avec probabilité 1/2, et dans ce cas tous les prisonniers s'évadent en bloc.
D'autre part, il faut un temps de loi exponentielle de moyenne 2 mois pour
rattraper et emprisonner à nouveau chaque prisonnier en cavale. En faisant
3
toutes les hypothèses d'indépendance, déterminer: (a) le générateur pour
le nombre de prisonniers en cavale sur les deux en prison au départ; (b) le
temps moyen pour que les deux prisonniers en cavale se retrouvent ensemble
en prison.
Solution:
(a) Pour les états 0, 1, 2 dans cet ordre, on a le générateur


−1/8
0
1/8
A =  1/2 −5/8 1/8  .
0
1
−1
(b) En désignant par µi le temps moyen lorsque i prisonniers sont en cavale,
on a
µ2 = 1 + µ1 = 1 +
4
13 1
8 1
+ µ2 + µ0 =
+ µ2 ,
5 5
5
5
5
d'où µ2 = 3, 25.
Problème 7.6 [SOA M A06 #9]
Un jeu dans un casino fait des paiements selon un processus Poisson d'intensité
5 par heure et le montant d'un paiement peut être 1, 2, 3, ... sans limite. La
probabilité qu'un paiement soit égal à i est 1/2i et les paiements sont indépendants les uns des autres. Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas de
paiement de 1, 2 ou 3 dans une période de 20 minutes.
Solution:
Les paiements de 1, 2 ou 3 se produisent selon un processus Poisson d'intensité
5 × (1/2 + 1/4 + 1/8) = 35/8. Par conséquent, le nombre de paiements
de 1, 2 ou 3 dans une période de 20 minutes suit une loi de Poisson de
paramètre (35/8) × (20/60) = 35/24. Donc, la probabilité recherchée est
exp(−35/24) = 0, 2326.
4
Problème 7.7 [SOA M A06 #10]
Vous arrivez à une station de train à 6h15. Jusqu'à 7h00, les trains arrivent
selon un processus Poisson d'intensité 1 par 30 minutes. Après 7h00, ils
arrivent selon un processus Poisson d'intensité 2 par 30 minutes. Calculer
l'espérance du temps que vous devrez attendre avant qu'un train n'arrive.
Solution:
Soit X , la variable aléatoire représentant votre temps d'attente en MINUTES
à la station de train. Ce temps se termine à un taux de 1/30 durant les 45
premières minutes, puis à un taux de 2/30 les minutes suivantes. On a donc
E(X) = E(X|X < 45) × Pr(X < 45) + E(X|X > 45) × Pr(X > 45)
= E(X × I{X<45} ) + (45 + 15) × exp(−45/30)
Z 45
x
exp(−x/30)dx + 60 × exp(−45/30)
=
30
0
= 26, 65.
5

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