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線形代数学 I レポート問題解答（2014 年 6 月）
出題・コメント: 足立真訓 ([email protected])
解答作成: TA 盧暁南 ([email protected])
[1]
[
1
(1) (a) 偽．反例：A =
0
[
0
(b) 偽．反例：B =
1
]
0
.
0
]
1
.
0
(c) 真．正方行列 C が直交行列ならば，t C = C −1 ．よって，C は正則である．
[
]
[
]
[
]
[
]
1 1
1 1
2 2
1 1
(2) (a) 例：A =
,B=
とすると，AB =
, BA =
.
0 0
1 1
0 0
1 1
[
]
[
]
[
]
1 1
1
1
0 0
(b) 例：A =
,B=
とすると，AB =
.
0 0
−1 −1
0 0
注. 反例や例は他にも可能性があり, 正答はたくさんあるが, 答案では何か 1 つ具体的に数字で書かれたものを
挙げればよい.
(3) (a)
A2 − (a + d)A + (ad − bc)E
[
] [
]
[
]
[
]
a b
a b
a b
1 0
=
·
− (a + d)
+ (ad − bc)
c d
c d
c d
0 1
[
] [
] [
]
a2 + bc ab + bd
a2 + ad ab + bd
ad − bc
0
=
−
+
ac + cd bc + d2
ac + cd ad + d2
0
ad − bc
[
]
0 0
=
.
0 0
(b) (a) の結果を利用して，ad − bc = 0 のとき，A2 − (a + d)A = 0 が成り立つことがわかる．A2 = (a + d)A
を繰り返し使って，A100 = (a + d)A99 = (a + d)2 A98 = . . . = (a + d)99 A.
注. この計算結果 A2 − (a + d)A + (ad − bc)E = O は Cayley–Hamilton の定理と呼ばれる. 理論的に重要な
定理であるが, このように行列の大きなベキを計算するのに役立つこともある.
1
[2]
(1)






2 + (−2) × ⃝
1
⃝
1 4
7
0
1 4
7
0
1 4
7 0
3 + (−3) × ⃝
1
3 + (−2) × ⃝
2

 ⃝

 ⃝


A = 2 5
8
0  −−−−−−−−−−−→ 0 −3
−6
0  −−−−−−−−−−−→ 0 −3 −6 0 
3 6 9+α β
0 −6 α − 12 β
0 0
α β
よって，α = β = 0 のとき，rank A = 2，他のとき，rank A = 3．
(2)
[
 ⃝




2 + (−2) × ⃝
1
1 4 7 0
1 4
7
0
1 4 7 0
3 + (−3) × ⃝
1
3 + (−2) × ⃝
2
⃝
⃝
A′ b =  2 5 8 0  −−−−−−−−−−−→  0 −3 −6 0  −−−−−−−−−−−→  0 −3 −6 0 
3 6 9+α β
0 −6 α − 12 β
0 0 α β
]

よって，
[
]
(i) α ̸= 0 のとき，rank A′ b = rank A′ = 3，方程式 (*) は 1 組の解をもつ．解の自由度は 0 である．
[
]
(ii) α = 0 かつ β = 0 のとき，rank A′ b = rank A′ = 2 < 3，方程式 (*) は無数の解をもつ．解の自
由度は 1 である．
]
[
(iii) α = 0 かつ β ̸= 0 のとき，3 = rank A′ b > rank A′ = 2，方程式 (*) は解をもたない．
(3)
(i) α ̸= 0 のとき，


1 +⃝
2 × 43
⃝
2
⃝ × (− 13 )
1
3 ×α
⃝



1 0 0
1 +⃝
3
⃝
1 0 −1 0
1 4 7 0

2 +⃝
3 × (−2)
⃝

0
1
2
0
 0 −3 −6 0  −−−−−−−−−→ 
 −−−−−−−−−−−→  0 1 0

0 0 α β
0 0 1 αβ
0 0 1
   β 
x
   α 
よって，y  = − 2β
が方程式 (*) の解である．
α
β
z
α
(ii) α = 0 かつ β = 0 のとき，
β
α
− 2β
α
β
α






 [
1 +⃝
2 × 43
] ⃝
[
]
1 4 7 0
1 4 7 0
1 0 −1 0
2 × (− 13 )
⃝
 0 −3 −6 0  = 0 −3 −6 0 −−−−−−−−−→ 0 1 2 0
0 0 α β
0 0 0 0
0 0 0 0
つまり, 方程式 (*) は次の方程式と同値である.
{
x−z =0
y + 2z = 0
よって，
z = t (t は任意の実数) とおくと,

 z をパラメータとみなし

x
t
  

y  = −2t が方程式 (*) の解と分かる．
z
t
注. 解を計算し終わったら, 検算をすること. 手計算は間違えることが普通である. まず前問で求めた解の自由
度 (解が含むパラメータの個数) の計算結果と整合しているかを確認する. 次に, 求めた解を実際に方程式
(*) に代入し, 成立することを確認する.
2
[3] （Vandermonde 行列）


1 1 1


(1) a = 0, b = 1, c = 2 のとき，A = 0 1 2.
0 1 4
[
]
[
1 1 1 1 0 0
A E = 0 1 2 0 1 0
0 1 4 0 0 1
]
[
1 1 1 1 0 0
−−−−−−−−−−−→ 0 1 2 0 1 0
0 0 2 0 −1 1


1 0 0 1 − 32 12
1 +⃝
2 × (−1) + ⃝
3 × (−1)
⃝


−−−−−−−−−−−−−−−−−−→  0 1 0 0 2 −1 
0 0 1 0 − 12 12
よって，A は正則で, A−1
3 +⃝
2 × (−1)
⃝

1 − 32

= 0 2
0 − 21
1
2
]

1 1 1 1 0 0
−−−−−−−−−−−→  0 1 0 0 2 −1 
0 0 1 0 − 12 12
2 +⃝
3 × (−1)
⃝
3 × ( 12 )
⃝



−1．
1
2
注. A の正則性の判定のみであれば, Sarrus の方法により, det A = 2 ̸= 0 を確認してもよい. 今回のように逆
行列を求める可能性がある場合は, 掃きだし法を用いるのがよい.
(2)






2 +⃝
1 × (−a)
⃝
1 1 1
1
1
1
1
1
1
3 +⃝
1 × (−a2 )
3 +⃝
2 × (−b − a)

 ⃝

 ⃝


c − a  −−−−−−−−−−−−−→ 0 b − a
c−a
 a b c  −−−−−−−−−−−→ 0 b − a

a2 b2 c2
0 b2 − a2 c2 − a2
0
0
(c − a)(c − b)
よって，A が正則となるためには rank A = 3 でなくてはならないから, (c − a)(c − b) ̸= 0 が必要である，
すなわち，a ̸= c かつ b ̸= c．他方，b − a = 0 なら，

 



1
1
1
1 1
1
1 1
1
3 +⃝
2 × (a − c)

 
 ⃝


c−a
c − a  −−−−−−−−−−−−→ 0 0 c − a
0 b − a
 = 0 0
0
0
(c − a)(c − b)
0 0 (c − a)2
0 0
0
によって，rank A < 3 となり, A が正則とならない．つまり，A が正則となるためには，a ̸= b かつ b ̸= c
かつ c ̸= a が必要である. 逆にこのとき, rank A = 3 であり, A は正則となる. よって答は, a ̸= b かつ b ̸= c
かつ c ̸= a.
(3) 行列式は, (2) の掃き出し計算で用いた行基本変形について不変であるので,
1
1
1
b − a
c−a
=
det A = 0 b − a
c−a
= (a − b)(b − c)(c − a).
0
(c − a)(c − b)
0
0
(c − a)(c − b)
det A ̸= 0 となる条件は a, b, c が全て相異なることである.
以上
3

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