7 類 V クラス 線形代数学第一 演習第 7 回 (カールマン 演習問題 2015 年 7 月 15 日) (テーマ: ベクトルの積, 平面の方程式) [1] 3 点 A = (1, 2), B = (0, 4), C = (e, π) を頂点とする R2 上の三角形 T の面積を計 算せよ. (ただし, e は自然対数の底である.) [2] l を xyz-空間の点 P = (−2, 5, 2) と方向ベクトル v = (1, 1, 3) によって定まる直線 とするとき, l と点 Q = (1, 0, −3) を含む平面 Π の方程式を求めよ. [3] 点 P = (1, 0, 2) を通り, v = (−2, −2, 0) を方向ベクトルとする直線 k と点 Q = (0, 0, −1) を通り, w = (−1, 1, 1) を方向ベクトルとする直線 l に関して次に答えよ. (1) 2 直線は共通点を持たない (いわゆるねじれの 2 直線である) ことを示せ. (2) 2 直線の距離を求めよ. (3) 2 直線の共通垂直線を求めよ. [4] 2 平面 x + 2y + 2z = 1 と 2x − y + 3z = 1 がなす角と共通直線の方向ベクトルを求 めよ. [5] xyz-空間の 3 点 (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), x1 y1 x y 2 2 x3 y3 x y (x3 , y3 , z3 ) を含む平面の方程式は z1 1 z2 1 =0 z3 1 z 1 となることを示せ. [6] 空間の 4 点 A, B, C, D に対して, 線分 AB, BC, CD, DA の中点をそれぞれ P , Q, R, S とする. |AC| = |BD| (2 線分の長さが一致すること) と P R ⊥ QS (2 直線 が直交すること) が同値であることを証明せよ. 以上.
© Copyright 2024 ExpyDoc
