第 章 リーマン積分とルベーグ 積分との関係 リーマン積分とルベーグ積分との関係 本節においては におけるリーマン積分とルベーグ積分の関係 について考察する において ジョルダン測度空間 とルベーグ測度空間 が定義されているとする このとき が成り立っ ている ここでは リーマン積分は狭義リーマン積分のみを考える の有界なジョルダン可測集合 において 有界なジョルダン がリーマン積分可能ならば ルベーグ積分可能で 可測な関数 あって のリーマン積分とルベーグ積分が一致することを証明 する 本節においては 関数 のリーマン積分とルベーグ積分をそれ ぞれ と表して区別する まず最初にリーマン積分の定義を思い出す。 の部分集合 は有界なジョルダン可測集合であるとし 関数 は において有界かつリーマン積分可能であるとする の有限直和分割全体のつくる有向集合を と表す このとき 上定義された単関数の有向族 が存 在して 上広義一様収束の意味で ムーア・スミスの極限移行 が成り立つ このとき のリーマン積分は ムーア・スミス極限 によって定義されている このとき のリーマン積分の値は に 上広義一様収束 する単関数の有向族 のとり方に依存しない いま の有限直和分割 を考える ここで 各部分集合 は 部分集合である における の上限と下限をそれぞれ における の上限と下限をそれぞれ き 単関数 を考える このとき が成り立つ したがって のジョルダン可測な とし 各部分集合 とする このと とおくと が成り立つ このとき ムーア・スミス極限の意味で極限移行をとると が成り立つ さらに が成り立っているから 上限と下限の定義によって と はそれぞ れ と の集積点である ゆえに の有限直和分割の列 で 各 に対し は の細分になるものが存 在して が成り立つようにできる これを命題としておく 命題 は の有界なジョルダン可測集合であるとし 関数 は有界かつリーマン積分可能であるとする さらに 上の の有限直和分割の列 で 各 記号を用いる このとき に対し は の細分になっているものが存在して が成り立つ さらに 等式 が成り立つ 定理 は の有界なジョルダン可測集合であるとし は において有界かつリーマン積分可能であるとする この とき は においてルベーグ可測である この逆は必ずしも成り立たない 証明 命題 によって の有限直和分割の列 で 命題 が成り立つようなものが存在する いま を と表す このとき とし の このとき とおく いま の における上限と下限をそれぞれ における上限と下限をそれぞれ 上の単関数 と を である とする と定義する このとき と はジョルダン可測であるから ルベーグ 可測にもなっている さらに において 不等式 が成り立つ の選び方によって 単関数列 は単調減少列である 数列 したがって 上各点収束の意味で は単調増大列で 単関 が存在して 不等式 が成り立つ ゆえに は 上ルベーグ積分可能で ある このとき ルベーグの有界収束定理によって が成り立つ さらに リーマン積分とルベーグ積分の定義によって が成り立つ 命題 によって であるから が成り立つ このとき であるから となる ゆえに 上ほとんどいたるところ 立つ したがって 上ほとんどいたるところ が成り が成り立つ ゆえに と はルベーグ可測であるから がルベー グ可測であることが証明される 逆がかならずしも成立しないことは次の例によってわかる いま であるとし 関数 は有理点 はそれ以外 を考えると 可積分あるが は において有界で ルベーグ可測で ルベーグ においてリーマン積分可能ではない 系 は のジョルダン可測な有界閉集合であるとす る このとき 上の連続関数 はルベーグ可測である 系 は のジョルダン可測な有界閉集合であるとす る このとき が において有界かつリーマン積分可能ならば の不連続点全体のつくる集合はルベーグ側度 である 証明 定理 の証明の中の記号を用いる の不連続点全体のつくる集合を とし の境界 の 合併を とする のジョルダン測度は であるから ルベーグ の意味での零集合である は零集合の可算個の和集合であるから もまた零集合である いま であるとすると の有限直和分割の列 に おいて 各 に対し はある の内点になっている ゆえ が において不連続であることと 関数 の に 作り方から であることがわかる ところが 上ほとんどいたるところ であるから ゆえに 系 の逆が成り立つこともわかっているから 結局次の定理 が得られる 定理 は のジョルダン可測な有界閉集合であると する このとき が において有界かつリーマン積分可能で の不連続点全体のつくる集合がル あるための必要十分条件は ベーグの意味で零集合であることである 定理 は の有界なジョルダン可測集合であるとす が において有界かつリーマン積分可能であれ る このとき ば ルベーグ積分可能であって における のリーマン積分と ルベーグ積分は相等しい 証明 定理 によって は においてルベーグ可測で ある 仮定によって は において有界であるから は においてルベーグ可積分である いま 定理 の証明の中の記号を用いる このとき が成り立つ は においてリーマン積分可能で であるから 等式 を得る 注意 のジョルダン可測集合 において広義リーマ で においてルベーグ積分可能でない例が ン積分可能な関数 知られていることを注意する さらに において広義リーマン積分可能な関数 いて広義ルベーグ積分可能であることが知られている は にお
© Copyright 2024 ExpyDoc
