第 4 章自然数の概念

第 4 章自然数の概念
本章においては自然数の概念の定義とその存在定理について考察
する. 自然数の概念の定義は加法, 乗法と大小関係の計算の対象と
考えられる自然数の計算のルールからなる自然数の完全な公理系を
与えることによって行われる.
さらに, 自然数の概念の存在定理は, ZFC 集合論に基づいて自然
数のモデルを構成することによって与えられる.
自然数の概念の存在定理に基づいて, 整数から複素数までのすべ
ての数の概念の存在定理が証明できる. これに関しては伊東 [5] を
参照してもらいたい.
4.1 自然数の概念の定義
本節においては, 自然数の概念の定義を与える. そのために, 自然
数の完全な公理系を提示する.
そのために, 自然数に対する, 加法, 乗法と大小関係の計算のルー
ルを規定する条件を定めることによって, 代数系としての自然数の
完全な公理系を規定する. これは次のように与えられる.
自然数の公理系集合 N において, 加法と乗法, 大小関係が定義
されて, 次の条件 (I)∼(V) が満たされるとき, N の元の一つ一つを
自然数であると定義する.
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(I) N の二つの元 m, n に和 m + n を対応させる加法が定義さ
れていて, N の三つの元 l, m, n に対し, 次の (i)∼(iii) が成り
立つ:
(i) [交換法則] m + n = n + m が成り立つ.
(ii) [結合法則] (l + m) + n = l + (m + n) が成り立つ.
(iii) N の元 0 があって, 0 + n = n が成り立つ. 元 0 を「ゼ
ロ」という.
(II) N の二つの元 m, n に積 m · n = mn を対応させる乗法が定
義されていて, N の三つの元 l, m, n に対し, 次の (i)∼(iii) が
成り立つ:
(i) [交換法則] mn = nm が成り立つ.
(ii) [結合法則] (lm)n = l(mn) が成り立つ.
(iii) N の元 1 が存在して, 1n = n が成り立つ. 元 1 を「イ
チ」という.
(III) l, m, n が N の三つの元であるとするとき, 加法と乗法に関
して次の (i) が成り立つ:
(i) [分配法則] l(m + n) = lm + ln が成り立つ.
(IV) N の二つの元 m，n の間に, 関係 m < n が定義されている
とき, 「m は n より小」あるいは「n は m より大」であるとい
う. m = n または m < n であることを m ≤ n と表して, 「m
は n 以下」である, あるいは「n は m 以上」であるという.
l, m，n が N の三つの元であるとするとき, この大小関係に関
して, 次の (i)∼(vii) が成り立つ:
(i) 二つの元 m, n に対し, m < n, m = n, n < m のいずれ
か一つが必ず成り立つ.
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(ii) [推移法則] l < m, m < n ならば, l < n が成り立つ.
(iii) m < n ならば, m + l < n + l が成り立つ.
(iv) m < n, l > 0 ならば, lm < ln が成り立つ.
(v) [アルキメデスの公理] 0 < l < m ならば, m < nl を
満たす N の元 n > 0 が存在する.
(vi) N の任意の元 n に対し, n ≥ 0 が成り立つ.
(vii) m < n ならば, m + 1 ≤ n が成り立つ.
(V) N = {0} ∪ {n = m + 1；m ∈ N } が成り立つ.
上の公理 (V) の条件は集合 N を決定するための条件ではない. 集
合 N があったとして, N が満たすべき条件の一つを規定している.
すなわち, 右辺の集合は N の部分集合として定まっている. 公理
(V) はこの右辺の部分集合が集合 N に等しいという条件を規定し
ている. 一般に, この公理 (V) は帰納法の公理といわれる.
この帰納法の公理は次のように表現することがある.
帰納法の公理自然数の集合 N の部分集合 M が, 次の条件 (i),
(ii) を満たしているならば, M = N が成り立つ:
(i) M は 0 を含む.
(ii) M が N の元 n を含むならば, M は n + 1 も含む.
この帰納法の公理は, 自然数に関する命題を証明するときに用い
られる数学帰納法という証明法の根拠となる公理である.
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4.2 自然数の概念の存在定理
本節においては, 自然数の概念の存在定理を証明する. そのため
に, ZFC 集合論に基づいて自然数のモデルを構成する.
定理 4.2.1 ZFC 集合論において, 集合 N = {0, 1, 2, · · · } は有
限順序数全体の集合であるとする. このとき, 集合 N は自然数のモ
デルである.
証明集合 N において, 和と積は, 有限順序数としての和と積に
よって定義されている. このとき, これらの演算の定義には, 帰納法
を用いる. 大小関係は, 有限順序数の順序関係によって定義されて
いる. これによって, 集合 N は 4.1 節の自然数の公理系を満たすこ
とがわかる. //
ペアノの公理系は有限順序数を定義する公理系である. さらに,
ペアノの公理系は有限順序数の存在定理を与えるものではない. そ
れ故に, ペアノの公理系によって直接に自然数の概念の定義を与え
ることはできない.
次の定理 4.2.2 によって, 自然数のモデルのもう一つの構成が与え
られる.
定理 4.2.2 ZFC 集合論において, 集合 N = {0, 1, 2, · · · } は有
限カージナル数全体の集合であるとする. このとき, 集合 N は自然
数のモデルである.
証明集合 N において, 和と積は, それぞれ有限カージナル数の
和と積として定義する. 大小関係は, 有限カージナル数の大小関係
によって定義する. これによって, 集合 N は 4.1 節の自然数の公理
系を満たすことがわかる. //
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定理 4.2.1 と定理 4.2.2 によって, 自然数のモデル N が存在する
ことが証明された. これによって, 自然数の概念の存在定理が証明
され, 4.1 節の自然数の公理系の無矛盾性が証明された. これはヒル
ベルトの問題 2 の完全な解決を与えている.
従来, 歴史的には, 自然数の集合は {1, 2, 3, · · · } という正の自然数
の集合であると考えられていた. 本章の説明から次のことが理解さ
れる. 自然数の概念の存在定理に用いられる自然数のモデルの構成
を考えれば, 自然数の集合として N = {0, 1, 2, · · · } を用いる方が合
理的であるということである.
また, 数の記数法においては, 大きな数の表現において 0 という
記号を用いているから, 自然数の概念として 0 を含めて考えるのは
自然である.
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