灘高 15年 6

灘高数学
灘進学教室
灘高
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１５年
６
正二十面体の各面に１から２０までの数を１つずつ記したサイコロを３回振るとき、出る目の数を順に
(1)
(2)
(3)
a+b+c
a+b+c
a+b+c
と
と
と
a b c がともに偶数となる確率を求めよ。
a b c がともに４の倍数となる確率を求めよ。
a b c がともに８の倍数となる確率を求めよ。
【答案】（1）∼(3)とも同じ手法で
(1)
①
１から２０までの数を、２で割った余りで分けると
余り＝０、１
②
条件を満たす
③
１０個ずつ
を２で割った余りを
a, b, c
p, q, r
→
( p , q , r ) とすると
( p, q, r) は
自体の和、積がともに２の倍数になることを考えて
和＝０
→
(0, 0, 0)
２
→
( 0 , 1, 1)
求める確率は
10
20
3
×{1 + 3 } =
1
2
(2)
①
１から２０までの数を、４で割った余りで分けると
余り＝０∼３
②
条件を満たす
③
５個ずつ
を４で割った余りを
a, b, c
p, q, r
→
( p , q , r ) とすると
( p, q, r) は
自体の和、積がともに４の倍数になることを考えて
和＝０
→
４
→
(0, 0, 0)
( 0 , 1, 3 ) 、 ( 0 , 2 , 2 )
求める確率は
5
20
3
×{1 + 6 + 3 } =
5
32
(3)
①
１から２０までの数を、８で割った余りで分けると
余り＝１∼４
５∼７、０
②
条件を満たす
和＝
③
３個ずつ
→
２個ずつ
を８で割った余りを
a, b, c
p, q, r
→
( p , q , r ) とすると
( p, q, r) は
自体の和、積がともに８の倍数になることを考えて
０
→
(0, 0, 0)
８
→
( 0 , 1, 7 ) 、 ( 0 , 2 , 6 ) 、 ( 0 , 3 , 5 ) 、 ( 0 , 4 , 4 )、 ( 2 , 2 , 4 )
１６
→
(4, 6, 6)
求める確率は
1
20
★補足
3
3
× { 2 ×1
+ ( 2×3×2 )×6×3 + ( 2× 32 + 33 + 3 × 22 )×3 } =
↑
(0, 0, 0)
↑
( 0 , 1, 7 )
(0, 2, 6)
( 0, 3, 5)
↑
(0, 4, 4)
(2, 2, 4)
(4, 6, 6)
79
1 600
a, b, c
とする。
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１５年
１
(1)
自然数
a
b=a+6
(2)
a
に対して、 a
を越えない最大の整数を
3
とし、 a
2
2 b c c2 ＝
x + y z =1
(a + 2) x y + z = 0
x + ( a 1) y z = 1
を考える。
が成り立つとき、
a
＝
、 3b
3 b
を
c とする。
である。
を定数とする。
x, y, z
の連立方程式
この連立方程式が解をもたないとき、
また、この連立方程式が
(3)
b
xyz 0
a
＝
である。
を満たす解をもつとき、
a
＝
である。
図のように、一辺が４ｃｍの正方形ＡＢＣＤの内部に、
正方形の各辺を斜辺とする４つの合同な直角三角形と正方形ＥＦＧＨがある。
1 倍であるとき、
2
正方形ＥＦＧＨの面積が正方形ＡＢＣＤの面積の
ｃｍ、ＢＥ＝
ＡＥ＝
(4)
ｃｍである。
袋の中に赤玉、青玉、白玉、黒玉が１個ずつ、合計４個入っている。
【操作】
袋から同時に２個の玉を取り出し、玉の色を記録し、取り出された玉を袋に戻す。
上の操作を１回の操作とし、４個の玉のすべてが少なくとも１回取り出された時点で操作を終える。
このとき、２回目で操作を終える確率は
、３回目で操作を終える確率は
である。
２
y = a x 2 （ a は正の定数）のグラフを D とする。
C 上に２点Ａ ( 1 , 3 ) 、Ｂ ( 2 , 12 ) をとり、 D 上に２点Ｐ ( 2 , 4 a ) 、Ｑ ( 3 , 9 a ) をとる。
さらに、点Ｐを通り直線ＡＢに平行な直線を l 、点Ｑを通り直線ＡＢに平行な直線を m とする。
(1) 直線 l の式および直線 m の式を求めよ。
(2) l と D の交点のうち、Ｐと異なるものをＲとし、
m と D の交点のうち、Ｑと異なるものをＳとする。
① △ＡＢＲの面積と△ＡＢＳの面積の比が４：１１となるような a の値を求めよ。
② 四角形ＰＲＳＱの面積が１０８となるような a の値を求めよ。
ただし、 C と D は異なるものとする。
関数
y = 3 x2
のグラフを
C
、関数
３
△ＡＢＣの３つの辺すべてに接する円の中心をＩとし、
△ＡＢＣの３つの頂点を通る円と直線ＡＩの交点のうち、Ａと異なるものをＤとする。
また、図のように、直線ＡＤ上にＩＤ＝ＤＥを満たす点Ｅをとる。
さらに、直線ＣＥに関して点Ｂと対称な点をＦとする。
このとき、次の(1)、(2)を証明せよ。
(1)
△ＣＤＩは二等辺三角形である。
(2)
３点Ａ、Ｃ、Ｆは同一直線上にある。
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１５年
４
一辺が６ｃｍの立方体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨと、辺ＡＥを直径とする球面Ｓがある。
面ＥＦＧＨ上にある点Ｐに対して、線分ＡＰと球面Ｓの交点のうち、Ａ以外のものをＱとする。
ただし、ＰがＥと一致するときは、ＱはＥであるとする。
(1)
図の斜線部のような、Ｅを中心とし、Ｆ、Ｈを弧の両端とする扇形を考える。
点Ｐがこの扇形の周と内部を動くとき、点Ｑは球面上の図形
①
②
③
線分ＰＱが動くことのできる部分の体積を求めよ。
U
の周と内部を動く。
の周の長さを求めよ。
T
T
(2)
T
の面積を求めよ。
点Ｐが△ＥＦＨの周を１周するとき、点Ｑは球面上の図形 U の周を１周する。
の周の長さを求めよ。
５
図は、ある立体
P
の展開図で、８つの合同な台形と２つの合同な正方形からできている。
この展開図において、点Ａと点Ｃは立体
このとき、立体
P
の体積を求めよ。
P
の異なる点を表し、辺ＢＣと辺ＥＤは立体
P
の同じ辺を表す。

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