2学期末数学演習b ⅠA選択者用 ④ ( )組( )番名前( )

2学期末　数学演習b　ⅠA選択者用　④
(　)組(　)番　名前(　)　１
5 個の数字 0，1，2，3，4 から異なる 3 個の数字を選んで 3 桁の整数を作る。
(1)　全部でアイ個の 3 桁の整数ができる。
(2)　そのうち，奇数はウエ個で，偶数はオカ個である。
(3)　また，9 の倍数は
キ
個で，4 の倍数はクケ個である。
(4)　さらに，この 3 桁の整数を小さい順に並べたとき，213 はコサ番目である。
２
(1)　30 人の学級で 3 人の委員を選ぶ方法は
B を含む選び方は
イ
ア
通りあり，そのうち特定の 2 人 A,
通りある。
(2)　赤玉 3 個，青玉 4 個，白玉 1 個の合計 8 個の玉を 1 列に並べる方法は
ウ
通り
ある。
(3)　正八角形の 8 個の頂点のうちの 3 個を頂点とする三角形の個数は
エ
個である。
３
2 つのさいころを同時に投げるとする。
(1)　出る目の和が 10 となる確率は
ア
である。
(2)　1 つのさいころの目がもう 1 つのさいころの目の 2 倍となる確率は
イ
である｡
４
(1)　12 人の生徒から 3 人の委員を選ぶとき，特定の 2 人 A，B が選ばれる確率は
ア
であり，特定の 2 人のうち少なくとも 1 人が選ばれる確率は
イ
(2)　3 つのさいころを同時に投げるとき，出る目の積が偶数である確率は
-1-
である。
ウ
である。
５
赤玉 5 個，白玉 4 個，青玉 3 個が入っている袋から，よくかき混ぜて玉を同時に 3 個取
り出すとき，玉の色が 2 種類である確率は
アイ
ウエ
-2-
である。
１
解説
(1)　百の位は 0 以外の数字で，4 通り。
十の位は百の位で用いた数字以外で，4 通り。
一の位は残りの数字から，3 通り。
よって　4 % 4 % 3=48 (個)
(2)　奇数の場合について
一の位は 1 または 3 で，2 通り。
百の位は残りのうち 0 以外の数字で，3 通り。
十の位は残りの数字から，3 通り。
よって　2 % 3 % 3=18 (個)
偶数について　48-18=30 (個)
(3)　9 の倍数は各位の数字の和が 9 の倍数であるから，使用できる数字は　2，3，4
よって　3 % 2 % 1=6 (個)
4 の倍数は下 2 桁が 4 の倍数であるから，下 2 桁が 04 ，12， 20 ，24，32， 40 であ
るとよい。
このとき，　のものは百の位に残りの 3 個の数字のどれを用いてもよいから
3 % 3=9 (個)
また，　以外のものは百の位に 0 以外の数字を用いるから　3 % 2=6 (個)
よって，全部で　9+6=15 (個)
(4)　213 より小さい 3 桁の整数のうち，小さい方から順に
1 □ □ の形の整数は 4 % 3=12 (個)
2 0 □ の形の整数は 3 個
2 0 □ の形の整数の次は 210，213，…… と続くから，213 は　12+3+2 =17 (番目)
２
解説
(1)　30 C 3 =
30 ･ 29 ･ 28 ア
= 4060 (通り)
3･2･1
特定の 2 人を除いた 28 人から 1 人を選ぶと　28 C 1 = イ 28 (通り)
(2)　8!
8･7･6･5 ウ
=
= 280 (通り)
3!4!1!
3･2･1
(3)　異なる 3 個の頂点で三角形が 1 個できるから　8 C 3 =
8･7･6 エ
= 56 (通り)
3･2･1
３
解説
(1)　和が 10 となるのは 0 4，6 1，0 5，5 1，0 6，4 1 の 3 通り。
ア
よって，求める確率は　3 = 1
36
12
(2)　題意を満たす場合は 0 1，2 1，0 2，1 1，0 2，4 1，0 4，2 1，0 3，6 1，0 6，3 1 の 6 通り。
-3-
イ
よって，求める確率は　6 = 1
36
6
４
解説
(1)　特定の 2 人が選ばれるとき，他の 10 人の中から 1 人が選ばれるから　C1 ア 1
=
22
12 C 3
10
特定の 2 人のうち少なくとも 1 人が選ばれるという事象は，特定の 2 人のうち 1 人も選
ばれないという事象の余事象である。
特定の 2 人のうち 1 人も選ばれないという事象の確率は　よって，求める確率は　1-
C3
6
=
11
12 C 3
10
イ 5
6
=
11
11
(2)　出る目の積が偶数である事象は，出る目の積が奇数である事象の余事象である。
出る目の積が奇数となるのは，出る目がすべて奇数のときである。
その確率は
５
3
6
8 9
3
であるから，求める確率は　1-
3
6
8 9
3
=1-
1 ウ7
=
8
8
解説
起こりうる場合は，計 12 個の玉から 3 個取る場合であるから，全部で　12 C 3 =220 (通り)
玉の色が 2 種類である場合は，次の [1]，[2]，[3] のいずれかである。
[1]　赤玉と白玉が出る。　[2]　赤玉と青玉が出る。　[3]　白玉と青玉が出る。
[1] の場合の数は　5 C 2 % 4 C 1 + 5 C 1 % 4 C 2 =40+30 =70 (通り)
[2] の場合の数は　5 C 2 % 3 C 1 + 5 C 1 % 3 C 2 =30+15 =45 (通り)
[3] の場合の数は　4 C 2 % 3 C 1 + 4 C 1 % 3 C 2 =18+12 =30 (通り)
よって，玉の色が 2 種類である場合の数は　70+45+30=145 (通り)
したがって，求める確率は　145
29
=
220
44
t　玉の色が 3 種類であるという事象を A，1 種類であるという事象を B とすると，
玉の色が 2 種類であるという事象の余事象は，A2B である。
また，A と B は互いに排反である。
ここで　n 0 A 1 = 5 C 1 % 4 C 1 % 3 C 1 =60　n 0 B 1 = 5 C 3 + 4 C 3 + 3 C 3 =15
よって　P 0 A2B 1 = P 0 A 1 + P 0 B 1 =
60
15
75
15
+
=
=
220
220
220
44
したがって，求める確率は　1- P 0 A2B 1 =1-
-4-
15
29
=
44
44

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