2015一橋大

2015 一橋大
問題 3
n を 4 以上の整数とする。正 n 角形の２つの頂点を無作為に選び、それらを通
る直線を l とする。さらに、残りの n − 2 個の頂点から２つの頂点を無作為に
選び、それらを通る直線を m とする。直線 l と m が平行になる確率を求めよ。
解答
n が奇数のとき、l, m の決め方全体は
N = nC2 × n−2C2 =
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
4
である。l // m となるときは等脚台形となるか
ら、（１）対称軸を決め、（２）一方の側で２点
を選び、
（３）他方の側で対称な２点を選べばよ
いから、l // m となるのは
a=n×
n−1
2
C2 =
n(n − 1)(n − 3)
4
通り。求める確率は、
a
1
=
N
n−2
n が偶数のときは、対称軸のタイプは 2 通りある。向かい合う２辺の中点を結ぶ直線
と向かい合う頂点を結ぶ直線の２タイプである。n = 2m とおく。
前者の場合は対称軸の右側に m 個の頂点があるから、平行線の決め方は,
mC2 通り
c
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-1-
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対称軸の決め方は m 通りあるから、
mC2
×m=
1 2
m (m − 1)
2
後者の場合は対称軸の右側に m − 1 個の頂点があるから、平行線の決め方は,
m−1C2 通り
対称軸の決め方は m 通りあるから、
[m1C2 × m =
1
m(m − 1)(m − 2)
2
以上を合計して、
1
1 2
m (m − 1) + m (m − 1) (m − 2)
2
2
1
= m (m − 1) (m + m − 2)
2
2
= m (m − 1)
1
2
= n (n − 2)
8
l.m の決め方は２通りあるので、結局、
1
2
n (n − 2) 通り
4
よって、求める確率は
1
4
n−2
2
n (n − 2) ×
=
4
n (n − 1) (n − 2) (n − 3)
(n − 1) (n − 3)
c
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-2-
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