2学期中間 数学演習a⑤ ( )組( )番 名前( ) 1 右の図の P 地点から Q 地点に至る最短経路について Q (1) A 地点を通る経路は何通りあるか。 (2) B 地点を通る経路は何通りあるか。 B (3) 最短経路は全部で何通りあるか。 A P 2 赤玉 5 個と白玉 3 個の入った袋から,玉を 1 個ずつ 2 個取り出す試行を考える。ただ し,取り出した玉はもとに戻さない。1 個目に赤玉が出たときに,次の事象が起こる確 率を求めよ。 (1) 2 個目に赤玉が出る。 (2) 2 個目に白玉が出る。 3 1 から 150 までの自然数から 1 つを無作為に選ぶとき,それが 3 で割り切れるという事象 を A,5 で割り切れるという事象を B,15 で割り切れるという事象を C とするとき,次 の問いに答えよ。 (1) P 0 A1 ,P 0 B1 ,P 0 C1 を,それぞれ求めよ。 (2) P A 0 B1 ,P B 0 C1 ,P C 0 A1 を,それぞれ求めよ。 -1- 1 解説 (1) P A の最短経路は A A 4! =4 (通り) 3! P Q の最短経路は Q 4! =4 (通り) 3! よって,求める最短経路の総数は 4 % 4=16 (通り) (2) 図のように点 B -,B -- を定める。 P A B - の最短経路は 3! =3 (通り) 2! B - B D Q C B -- の最短経路は 1 % 1=1 (通り) B -- Q の最短経路は 3! =3 (通り) 2! B B -- B- A E P よって,求める最短経路の総数は 3 % 1 % 3=9 (通り) (3) 図のように点 C,D,E を定める。 P Q の最短経路となる場合は [1] A 地点を通る場合 [2] B 地点を通る場合 [3] C 地点を通る場合 [4] D 地点を通る場合 [5] E 地点を通る場合 に分けられる。 4! 4! =4 % 4=16 (通り) % 3! 3! P C Q の最短経路の数は P D Q の最短経路の数は 1 % 1=1 (通り) P E Q の最短経路の数は 1 % 1=1 (通り) したがって,求める最短経路の数は 16+9+16+1+1=43 (通り) t P 地点から Q 地点に至る経路の数を書き込んでいく と,右の図のようになる。 1 1 よって 43 通り 1 1 P -2- 5 9 4 20 23 4 11 B 3 2 1 3 7 3 1 Q 43 12 A 4 1 5 1 2 解説 1 個目に赤玉が出たとき,袋の中には赤玉 4 個,白玉 3 個が入っているから 4 3 (1) (2) 7 7 3 解説 (1) 1 から 150 までの自然数のうち, 3 で割り切れるものは,150=3 ・ 50 より 50 個 5 で割り切れるものは,150=5 ・ 30 より 30 個 15 で割り切れるものは,150=15 ・ 10 より 10 個 よって,求める確率は P 0 A1 = 50 1 30 1 10 1 = ,P 0 B1 = = ,P 0 C1 = = 150 3 150 5 150 15 (2) 3 と 5,5 と 15,3 と 15 の最小公倍数は 15 であるから,事象 A3B,B3C,C3A はいずれも,「1 から 150 までの自然数を 1 つ選ぶとき,それが 15 で割り切れる」 とい う事象を表す。 よって P 0 A3B1 = P 0 B3C1 = P 0 C3A1 = したがって,求める確率は P A 0 B1 = P 0 A3B1 1 1 1 = & = P 0 A1 15 3 5 P B 0 C1 = P 0 B3C1 1 1 1 = & = P 0 B1 15 5 3 P C 0 A1 = P 0 C 3A 1 1 1 = =1 & P 0 C1 15 15 -3- 10 1 = 150 15
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