2学期中間 数学演習a⑤ ( )組( )番 名前( )

2学期中間 数学演習a⑤
( )組( )番 名前( ) 1
右の図の P 地点から Q 地点に至る最短経路について
Q
(1) A 地点を通る経路は何通りあるか。
(2) B 地点を通る経路は何通りあるか。
B
(3) 最短経路は全部で何通りあるか。
A
P
2
赤玉 5 個と白玉 3 個の入った袋から,玉を 1 個ずつ 2 個取り出す試行を考える。ただ
し,取り出した玉はもとに戻さない。1 個目に赤玉が出たときに,次の事象が起こる確
率を求めよ。
(1) 2 個目に赤玉が出る。 (2) 2 個目に白玉が出る。
3
1 から 150 までの自然数から 1 つを無作為に選ぶとき,それが 3 で割り切れるという事象
を A,5 で割り切れるという事象を B,15 で割り切れるという事象を C とするとき,次
の問いに答えよ。
(1) P 0 A1 ,P 0 B1 ,P 0 C1 を,それぞれ求めよ。
(2) P A 0 B1 ,P B 0 C1 ,P C 0 A1 を,それぞれ求めよ。
-1-
1
解説
(1) P
A の最短経路は
A
A
4!
=4 (通り)
3!
P
Q の最短経路は
Q
4!
=4 (通り)
3!
よって,求める最短経路の総数は
4 % 4=16 (通り)
(2) 図のように点 B -,B -- を定める。
P
A
B - の最短経路は
3!
=3 (通り)
2!
B -
B
D
Q
C
B -- の最短経路は
1 % 1=1 (通り)
B --
Q の最短経路は
3!
=3 (通り)
2!
B
B --
B-
A
E
P
よって,求める最短経路の総数は
3 % 1 % 3=9 (通り)
(3) 図のように点 C,D,E を定める。
P
Q の最短経路となる場合は
[1] A 地点を通る場合 [2] B 地点を通る場合
[3] C 地点を通る場合 [4] D 地点を通る場合
[5] E 地点を通る場合
に分けられる。
4!
4!
=4 % 4=16 (通り)
%
3!
3!
P
C
Q の最短経路の数は P
D
Q の最短経路の数は 1 % 1=1 (通り)
P
E
Q の最短経路の数は 1 % 1=1 (通り)
したがって,求める最短経路の数は
16+9+16+1+1=43 (通り)
t P 地点から Q 地点に至る経路の数を書き込んでいく
と,右の図のようになる。
1
1
よって 43 通り
1
1
P
-2-
5
9
4
20
23
4 11
B
3
2
1
3 7
3
1
Q
43
12
A
4
1
5
1
2
解説
1 個目に赤玉が出たとき,袋の中には赤玉 4 個,白玉 3 個が入っているから
4
3
(1) (2) 7
7
3
解説
(1) 1 から 150 までの自然数のうち,
3 で割り切れるものは,150=3 ・ 50 より 50 個
5 で割り切れるものは,150=5 ・ 30 より 30 個
15 で割り切れるものは,150=15 ・ 10 より 10 個
よって,求める確率は
P 0 A1 =
50
1
30
1
10
1
= ,P 0 B1 =
= ,P 0 C1 =
=
150
3
150
5
150
15
(2) 3 と 5,5 と 15,3 と 15 の最小公倍数は 15 であるから,事象 A3B,B3C,C3A
はいずれも,「1 から 150 までの自然数を 1 つ選ぶとき,それが 15 で割り切れる」 とい
う事象を表す。
よって P 0 A3B1 = P 0 B3C1 = P 0 C3A1 =
したがって,求める確率は
P A 0 B1 =
P 0 A3B1
1
1
1
=
& =
P 0 A1
15
3
5
P B 0 C1 =
P 0 B3C1
1
1
1
=
& =
P 0 B1
15
5
3
P C 0 A1 =
P 0 C 3A 1
1
1
=
=1
&
P 0 C1
15
15
-3-
10
1
=
150
15