2学期中間数学演習a⑤ ( )組( )番名前( )

2学期中間数学演習a⑤
(　)組(　)番　名前(　)　１
右の図の P 地点から Q 地点に至る最短経路について
Q
(1)　A 地点を通る経路は何通りあるか。
(2)　B 地点を通る経路は何通りあるか。
B
(3)　最短経路は全部で何通りあるか。
A
P
２
赤玉 5 個と白玉 3 個の入った袋から，玉を 1 個ずつ 2 個取り出す試行を考える。ただ
し，取り出した玉はもとに戻さない。1 個目に赤玉が出たときに，次の事象が起こる確
率を求めよ。
(1)　2 個目に赤玉が出る。　(2)　2 個目に白玉が出る。
３
1 から 150 までの自然数から 1 つを無作為に選ぶとき，それが 3 で割り切れるという事象
を A，5 で割り切れるという事象を B，15 で割り切れるという事象を C とするとき，次
の問いに答えよ。
(1)　P 0 A1 ，P 0 B1 ，P 0 C1 を，それぞれ求めよ。
(2)　P A 0 B1 ，P B 0 C1 ，P C 0 A1 を，それぞれ求めよ。
-1-
１
解説
(1)　P
A の最短経路は
A
A
4!
=4 (通り)
3!
P
Q の最短経路は
Q
4!
=4 (通り)
3!
よって，求める最短経路の総数は
4 % 4=16 (通り)
(2)　図のように点 B -，B -- を定める。
P
A
B - の最短経路は
3!
=3 (通り)
2!
B -
B
D
Q
C
B -- の最短経路は
1 % 1=1 (通り)
B --
Q の最短経路は
3!
=3 (通り)
2!
B
B --
B-
A
E
P
よって，求める最短経路の総数は
3 % 1 % 3=9 (通り)
(3)　図のように点 C，D，E を定める。
P
Q の最短経路となる場合は
[1]　A 地点を通る場合　[2]　B 地点を通る場合
[3]　C 地点を通る場合　[4]　D 地点を通る場合
[5]　E 地点を通る場合
に分けられる。
4!
4!
=4 % 4=16 (通り)
%
3!
3!
P
C
Q の最短経路の数は　P
D
Q の最短経路の数は　1 % 1=1 (通り)
P
E
Q の最短経路の数は　1 % 1=1 (通り)
したがって，求める最短経路の数は
16+9+16+1+1=43 (通り)
t　P 地点から Q 地点に至る経路の数を書き込んでいく
と，右の図のようになる。
1
1
よって　43 通り
1
1
P
-2-
5
9
4
20
23
4 11
B
3
2
1
3 7
3
1
Q
43
12
A
4
1
5
1
２
解説
1 個目に赤玉が出たとき，袋の中には赤玉 4 個，白玉 3 個が入っているから
4
3
(1)　(2)　7
7
３
解説
(1)　1 から 150 までの自然数のうち，
3 で割り切れるものは，150=3 ･ 50 より　50 個
5 で割り切れるものは，150=5 ･ 30 より　30 個
15 で割り切れるものは，150=15 ･ 10 より　10 個
よって，求める確率は
P 0 A1 =
50
1
30
1
10
1
= ，P 0 B1 =
= ，P 0 C1 =
=
150
3
150
5
150
15
(2)　3 と 5，5 と 15，3 と 15 の最小公倍数は 15 であるから，事象 A3B，B3C，C3A
はいずれも，｢1 から 150 までの自然数を 1 つ選ぶとき，それが 15 で割り切れる｣とい
う事象を表す。
よって　P 0 A3B1 = P 0 B3C1 = P 0 C3A1 =
したがって，求める確率は
P A 0 B1 =
P 0 A3B1
1
1
1
=
& =
P 0 A1
15
3
5
P B 0 C1 =
P 0 B3C1
1
1
1
=
& =
P 0 B1
15
5
3
P C 0 A1 =
P 0 C 3A 1
1
1
=
=1
&
P 0 C1
15
15
-3-
10
1
=
150
15

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