ノート

数学 A2
§12 極座標と２重積分
12.1 極座標
座標平面上の点 P の位置は，原点 O からの距離 r と，x 軸の正の方向と OP
のなす角 θ によっても定まる．この
y
とき
P
y
• (r, θ) を
[
]
[
• θを[
r
]
]
• rを
θ
O
x
x
という．
直交座標 (x, y) と極座標の関係は次で与えられる．
x = r cos θ , y = r sin θ
θ は 0 ≤ θ ≤ 2π で考えることが多いが，一般角をとることもある．上式か
ら逆に次を得る．
r=
［例題 12.1］
(
√
x2 + y 2 ;
極座標が (r, θ) = 4, −
cos θ =
x
y
, sin θ =
r
r
π)
の点を直交座標で表せ．
6
x = r cos θ =
y = r sin θ =
よって (x, y) =
1
［例題 12.2］
直交座標が (x, y) =
r=
√
(√
)
3, 1 の点を極座標で表せ．
x2 + y 2 =
cos θ =
x
=
r
, sin θ =
y
=
r
より θ =
よって (r, θ) =
［例題 12.3］
直交座標において x2 + y 2 ≦ 4, y ≧ 0 で表される領域は極座標で
≦r≦
≦θ≦
,
で表される．
12.2 極座標変換による 2 重積分
公式
(x, y) を (r, θ) に極座標変換して，領域 D を r, θ の不等式で表すとき
∫∫
∫∫
f (x, y) dxdy =
f (r cos θ, r sin θ) r drdθ
D
D
注形式的には，dxdy = r drdθ と変換される．
極座標で表された領域 D : a ≦ r ≦ b, α ≦ θ ≦ β を
a = r0 < r1 < r2 < · · · < rm = b
α = θ0 < θ1 < θ2 < · · · < θn = β
として，小領域 Dij : ri−1 ≦ r ≦ ri , θj−1 ≦ θ ≦ θj に分割すると，小領域の
面積は原点から遠ざかるにつれて，r に比例して大きくなる．これが r 倍の理
由である．
2
z
z = f (x, y)
z
a
b
y
x
x
［例題 12.4］
∫∫
D : x + y ≦ 1, y ≧ 0 とするとき
2
2
(x + y) dxdy を求めよ．
D
x = r cos θ, y = r sin θ とおくと dxdy = r drdθ
D は r, θ について次の不等式で表わされる．
≦r≦
≦θ≦
,
また，x + y =
∫∫
(x + y) dxdy =
D
3
∫
∞
e−x dx =
2
参考
√
π であることを，次の手順により示せ．
−∞
∫
∞
(1) I =
e
−x2
∫∫
e−x
2
dx とおくと，I =
−∞
P
平面全体とする．
∫∫
e−x
2
(2)
−y 2
dxdy を極座標変換で計算．
P
4
2
−y 2
dxdy ．ただし，P は xy

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