二次曲線の概形 二次式と行列 対角化と変数変換 . . （特）線形代数学 II - a 14. 対角化の応用 土屋和由 基礎・教養教育センター 2015 年 07 月 23 日 土屋和由 （特）線形代数学 II - a 14. 対角化の応用 二次曲線の概形 二次式と行列 対角化と変数変換 . 二次曲線の概形 二次曲線 C : 3x 2 − 2xy + 3y 2 = 1 の概形は ? √ √ X = (x + y )/ 2, Y = (−x + y )/ 2 とおくと， 3x 2 − 2xy + 3y 2 = (x + y )2 + 2(x − y )2 = 2X 2 + 4Y 2 X2 Y2 √ = + (1/ 2)2 (1/2)2 したがって，曲線 C は楕円． 変数変換を適当に選ぶと曲線を描くことが出来る． . 問題 . 変 . 数変換の選び方は ? 土屋和由 （特）線形代数学 II - a 14. 対角化の応用 二次曲線の概形 二次式と行列 対角化と変数変換 2 2 . 曲線 C : 3x − 2xy + 3y = 1 のグラフ y Y C 1/2 O 土屋和由 X √ 1/ 2 x （特）線形代数学 II - a 14. 対角化の応用 二次曲線の概形 二次式と行列 対角化と変数変換 . 二次式の行列表示 二次式 3x 2 − 2xy + 3y 2 を行列の積で表す． ( )( ) ( ) 3 −2 x x y 3x 2 − 2xy + 3y 2 = 0 3 y ( )( ) ( ) 3 −1 x x y = −1 3 y ( )( ) ( ) 3 −1/2 x x y = −3/2 3 y 二次式の行列表示は多様 ⇒ どのような表示を利用するのが良い ? ⇒ 実対称行列の利用 土屋和由 （特）線形代数学 II - a 14. 対角化の応用 二次曲線の概形 二次式と行列 対角化と変数変換 . 実対称行列の定義 . Definition (実対称行列の定義) . n 次行列 A に対して，t A = A が成立するとき，A を n 次対称行 列と呼ぶ．特に，全ての成分が実数のとき，A を実対称行列と 呼ぶ． . . Example (実対称行列の例) . 1 2 3 A = 2 4 5 は 3 次実対称行列である． 3 5 6 . . Example (対称行列であるが実対称行列ではない例) . ( ) i 2 A= は 2 次対称行列であるが，実対称行列では 2 3+i .ない． 土屋和由 （特）線形代数学 II - a 14. 対角化の応用 二次曲線の概形 二次式と行列 対角化と変数変換 . 実対称行列の性質 . Theorem (実対称行列の性質) . 1. 実対称行列の固有値は全て実数である． 2. 実対称行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは互いに 直交する． . 実対称行列は直交行列を用いて対角化可能である． 3 ただし，n 次行列 A に対して，t AA = En が成立するとき，A を 直交行列と呼ぶ． . ( )( ) ( ) 3 −1 x 2 2 3x − 2xy + 3y = x y = t xAx −1 3 y ( )( ) ( ) 2 0 X 2 2 2X + 4Y = X Y 0 4 Y ⇒ 対角化が関係している ? 土屋和由 （特）線形代数学 II - a 14. 対角化の応用 二次曲線の概形 二次式と行列 対角化と変数変換 . 対角化と変数変換 ( A= 3 −1 −1 3 ) ( ,T = T −1 √ √ ) 1/√2 −1/√ 2 とおくと， 1/ 2 1/ 2 ( t AT = TAT = X = T −1 x とおくと，x = T X, 3x 2 − 2xy + 3y 2 = tx 2 0 0 4 ) = t (T X) = t Xt T より， t xAx = (t Xt T )A(T X) = t X(t TAT )X ( ) 2 0 = tX X = 2X 2 + 4Y 2 0 4 が成立する． 土屋和由 （特）線形代数学 II - a 14. 対角化の応用 二次曲線の概形 二次式と行列 対角化と変数変換 . 対角化の意義 変数変換は具体的に √ √ )( ) ( ) ( X 1/ √2 1/√2 x −1 t = X = T x = Tx = Y y −1/ 2 1/ 2 √ ) ( (x + y )/ √2 = (−x + y )/ 2 と与えられる． 行列 T は x から X への変数変換（基底変換）を与える． . 対角化の意義 . 対角化は，より簡単な線形変換を表す行列，更に簡単な行列を指 定する基底変換を与える． . 土屋和由 （特）線形代数学 II - a 14. 対角化の応用
© Copyright 2024 ExpyDoc
