演習問題8

微分積分学および演習Ⅱ 演習問題 8
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
演習課題
Exercises in class ※ ∗ 印の付いた問題は少し計算が大変な問題、∗∗ 印の付いた問題はチャレンジ問題です。
問題 8-1. (2 変数関数の極値問題)
以下の 2 変数関数 f (x, y) の極値および極値をとる点を、次の手順にしたがって求めなさい。
【手順】
それぞれの関数の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) を計算し、臨界点をすべて求めなさ
い。また、それぞれのヘッセ行列 Hf (x, y) およびヘッセ行列式 hf (x, y) を計算し、求めた臨
界点が (ⅰ) 極大値を取る
(ⅱ) 極小値を取る
(ⅲ) どちらでもない (鞍点) のどれに当て
嵌るかを判定しなさい。
※ 参考資料 5 の「極値判定のフローチャート」も参考にすること!!
(1) f (x, y) = −x2 − 2y 2 + 4x
(2) f (x, y) = x2 + xy − y 2 − 5x
(3) f (x, y) = x2 − 2xy + 3y 2 + 2x + 4y + 1
(4) f (x, y) = x3 − 3x2 + y 2 + 2xy − 4y + 2
(5) f (x, y) = y 4 + x2 − 2xy − 7y 2 + 3
(6) f (x, y) = sin x + cos y
∗
(7) f (x, y) = (x + y )e
2
2
(8)∗∗ f (x, y) = xye−(x
2
(0 ≤ x, y ≤ 2π の範囲で )
y 2 −x2
+y 2 )
問題 8-2. (2 変数関数の極値問題: ヘッセ行列式の値が 0 となるとき)∗∗
2 変数関数 f (x, y) = 3x2 + 10xy 2 + 3y 4 および g(x, y) = 4x2 − 12xy 2 + 9y 4 について以下の設問に
答えなさい。
(1) 関数 f (x, y), g(x, y) はそれぞれ唯一つの臨界点 (xf , yf ) および (xg , yg ) を持つ。それぞれ
の臨界点 (xf , yf ) と (xg , yg ) を求めなさい。
(2) 臨界点に於けるヘッセ行列式の値
hf(xf , yf ), hg (xg , yg ) が共に 0 となることを示しなさい。
(3) 関数 f (x, y), g(x, y) を因数分解しなさい。
【ヒント】分かりづらければ Y = y 2 と変数変換してみなさい。
∗∗
(4)
(3) の結果を用いて f (x, y) − f (xf , yf ) および g(x, y) − g(xg , yg ) の符号がどうなって
いるかを考察しなさい。その考察をもとに、(xf , yf ) および (xg , yg ) がそれぞれ極大点であ
るか、極小点であるか、鞍点であるかを判定しなさい。
※ 本問のように、ヘッセ行列式の値が 0 になっている臨界点で極値を取るかどうかを
簡単に判定出来るケースは非常に稀であって、ヘッセ行列式の値が 0 であるような
臨界点の極値判定問題は一般には非常に困難極まりない問題である。

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