(1) (p2 + p3 + p7)(p2 + p3 ¡ p7)(p2 ¡ p3 + p7)

年番号
1
片方の面が白色，もう片方の面が黒色のカードを一枚用意する．さいころをひとつ投げ，目が 2
5
以下ならばカードを裏返し，3 以上の場合はそのままにする．最初はカードの白色の面が表であ
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
(1) ( 2 + 3 + 7)( 2 + 3 ¡ 7)( 2 ¡ 3 + 7)(¡ 2 + 3 + 7) = アイ
るとし，さいころを n 回投げたあとでカードの表が白色である確率を pn とする．
次の問いに答えよ．ただし，¤ については +; ¡ の 1 つが入る．
(2) 関数 f(x) = x3 + ax2 + bx + 5 が，x = ¡2 で極大値を，x = 1 で極小値をとるなら，
(1) p1 および p2 を求めよ．
a=
(2) pn+1 を pn を用いて表せ．
(3) pn を求めよ．
¤ウ
エ
;
b=
¤オ
である．
(4) lim pn を求めよ．
n!1
(3) 座標平面上に原点 O と A(3; 0)，B(0; 4) があり，点 P は t を実数として，
（東京女子大学 2014 ）
2
氏名
座標平面上の点 P(a; b) が条件 2a2 + b = 1 をみたしながら動くとき，点 Q(¡4a ¡ b; ¡a) の
描く軌跡を座標平面内に図示せよ．
（東京女子大学 2014 ）
¡!
¡!
¡!
OP = tOA + (1 ¡ t)OB
カキ
¡!
を満たす．jOPj が最小になるのは t =
¡! ¡!
このとき OP と AB のなす角はコサ
クケ
±
のときである．
である．
(4) 1 階，2 階，4 階，5 階にだけ停止する荷物用のエレベーターで，1 階にある 10 kg，20 kg，30 kg
3
座標空間内の 2 点 A(1; ¡2; ¡1)，B(¡5; ¡4; 3) を通る直線を ` とおく．以下の設問に答
の 3 個の荷物の全てを上階に運ぶ．一つの階に運ばれる荷物が複数個や 0 個になることを認め
えよ．
ると，荷物の運び方はシス通りである．10 kg を 1 階分上げるごとに 1 単位の電力が必要で
あると仮定すると，3 個の荷物を上げるために必要な電力の期待値は
(1) ` は点 C(¡2; ¡3; 1) を通ることを示せ．
(2) O を原点として C とは異なる ` 上の点 D が OD = OC をみたすとき，D の座標を求めよ．
（東京女子大学 2014 ）
4
座標平面における放物線 C1 : y =
1 2
1
x +
，および円 C2 : x2 + y2 = 2 について，以下の
2
2
設問に答えよ．
(1) C1 と C2 の交点を P，Q とするとき，ÎPOQ を求めよ．ただし，O は座標平面における原点を
あらわす．
(2) C1 と C2 で囲まれた部分の面積を求めよ．
（東京女子大学 2013 ）
セソ
単位である．
（東京薬科大学 2014 ）
6
7
次の問いに答えよ．ただし，¤ については +; ¡ の 1 つが入る．
ながら動いている．ÎOAP = µ として次の各問に答えよ．ただし，¤ については +; ¡ の 1 つ
(1) 不等式
が入る．
3
1
¡
<0
log2 x
log3 x
1+
中心 O，半径 1 の円周上に定点 A と動点 P，Q があり，P，Q は常に ÎPAQ = 120± を満たし
(1) µ の動ける範囲はあい
±
<µ<
±
うえ
である．
(2) AP，AQ を sin µ，cos µ を用いて表すと，
を解くと，
D
タ
<x<
チツ
AP =
cos µ;
お
AQ =
sin µ +
か
テ
となる．
である．
C
(2) 関数 f(x) = 8x + 8¡x ¡ 5(4x + 4¡x ) + 6(2x + 2¡x ) がある．ただし，x は全ての実数を動く．
‘ 2x + 2¡x = t とおくとき，t の取り得る値の範囲は t =
¤ト
である．
(3) 4OPQ の面積は，点 P，Q がどこにあっても常に
¤ナ
;
こ
S(µ) =
8x + 8¡x = t3 +
¤ニ
さ
C
し
sin 2µ ¡
である．
” f(x) の最小値は
¤ヒ
である．
す
cos 2µ ¡
せ
そ
t
となり，S(µ) は µ =
¤ ス t2 +
け
C
C
“ f(x) を t の式で表すと，f(x) = t3 +
く
(4) 4APQ の面積 S(µ) を sin 2µ，cos 2µ を用いて表すと，
’ 4x + 4¡x ，8x + 8¡x を t の式で表すと
4x + 4¡x = t2 +
cos µ
¤き
たち
±
のとき最大値
つ
をとる．
て
¤ ネ t + ¤ ノハである．
（東京薬科大学 2014 ）
である．
（東京薬科大学 2014 ）
8
数列 fan g を初項 5 log2 3，公差 ¡
(1) a10 =
ア
イ
ウ
log2 3 ¡
エ
1
1
log2 3 ¡
の等差数列とする．このとき，
2
2
;
a11 = ¡
オ
である．
(2) 数列 fbn g を
bn = 2an
(n = 1; 2; 3; Ý)
C
と定めると，これは初項
カ
キ
ク
，公比
ケ
コ
の等比数列となる．
(3) 数列 fan g はある n より先は負となる．an が負となる最初の n は
サ
である．
（東京理科大学 2015 ）

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