1 正方形の 4 個の頂点を，時計回りに順に A，B， C，D

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正方形の 4 個の頂点を，時計回りに順に A，B，
3
xy 平面上の点 P が原点 O(0; 0) から次の規則
C，D とする．頂点 A から出発して頂点上を時
に従って動くとする．表，裏がでる確率が等し
計回りに点 P を進めるゲームを行う．硬貨を 1
い硬貨を 2 枚投げて，表が 2 枚でたら右に 1 移
回投げるごとに，表が出たときには頂点 1 つ分
動し，裏が 2 枚でたら上に 1 移動し，表 1 枚裏 1
だけ点 P を進め，裏が出たときには頂点 2 つ分
枚でたら右に 1 移動し，さらに上に 1 移動する．
だけ点 P を進めるものとする．ただし，点 P が
以下，この試行を繰り返す．従って，最初表 1 枚
頂点 D にとまった時点でゲームは終わるものと
裏 1 枚でたら点 P の座標は (1; 1) で，次に表 2
する．
枚でたら点 P の座標は (2; 1) である．このとき，
次の問に答えなさい．
硬貨を n 回投げ終えた時点で点 P が頂点 A に
到達する確率を pn とするとき，次の問に答えよ．
(1) この試行を 3 回繰り返したとき，点 P の座標が
(3; 3) である確率は
ア
イ
である．
(2) この試行を 4 回繰り返したとき，点 P の座標が
(1) p2 ; p3 を求めよ．
(3; 3) である確率は
(2) p4 ; p5 を求めよ．
(3) p12 を求めよ．
ウ
エオ
である．
(3) この試行を 5 回繰り返したとき，点 P の座標が
(3; 3) である確率は
（佐賀大学 2015 ）
カキ
クケコ
である．また，そ
のうち点 P が点 (1; 1) を通って座標が (3; 3)
である確率は
サ
シスセ
である．
(4) この試行を 7 回繰り返したとき，点 P が (3; 3)
2
を通るか，(3; 3) である確率は
A，B，C，D，E の 5 人をいくつかの組に分け
ソタチ
ツテトナ
で
ある．
る．ただし，組同士は区別せず，どの組も 1 人以
上を含んでいるとする．このとき，以下の問い
（東北薬科大学 2015 ）
に答えなさい．
(1) A が 3 人の組に含まれるような分け方は何通り
4
n を自然数とする．白玉 4 個と赤玉 8 個が入って
いる袋から，玉を 1 個取り出し，色を見てから
あるか求めなさい．
(2) A が 2 人の組に含まれるような分け方は何通り
もとにもどす試行を n 回繰り返すとき，白玉が
偶数回出る確率を pn とする．ただし，0 は偶数
あるか求めなさい．
(3) 5 人を組に分ける方法は全部で何通りあるか求
めなさい．
と考える．
(1) pn+1 を pn で表せ．
（首都大学東京 2015 ）
(2) 数列 fpn g の一般項を求めよ．
(3) 極限 lim pn を求めよ．
n!1
（日本女子大学 2015 ）
5
1 枚の硬貨を何回も投げ，表が 2 回続けて出たら
7
1 から n までの番号が 1 つずつ書かれている n 個
終了する試行を行う．ちょうど n 回で終了する
の球が，袋の中に入っている．この袋の中から
確率を Pn とするとき，次の問いに答えよ．
3 個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問
いに答えよ．ただし，n = 3 とする．
(1) P2 ; P3 ; P4 を求めよ．
(2) Pn+1 を Pn および Pn¡1 を用いて表せ．ただし，
(1) n = 5 のとき，球に書かれている 3 つの数のう
n = 3 とする．
(3) n = 2 のとき，
ち，2 つだけが連続している確率を求めよ．
Pn
5 Pn+1 5 Pn が成り立つ
2
(2) 球に書かれている 3 つの数のうち，2 つだけが
連続している確率 p(n) を求めよ．
ことを示せ．
（大阪市立大学 2015 ）
(3) 球に書かれている 3 つの数のうち，どの 2 つも
連続していない確率 q(n) を求めよ．
(4) p(n) の最大値と，そのときの n の値を求めよ．
（福井大学 2015 ）
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n を自然数，i を虚数単位とする．集合
I1 ; I2 ; I3 ; I4 ，および A を
I1 = fk j k は n 以下の自然数 g
I2 = f¡k j k は n 以下の自然数 g
I3 = fki j k は n 以下の自然数 g
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A さんは 5 円硬貨を 3 枚，B さんは 5 円硬貨を 1
枚と 10 円硬貨を 1 枚持っている．2 人は自分が
I4 = f¡ki j k は n 以下の自然数 g
持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞ
A = I1 [ I2 [ I3 [ I4 [ f0g
れが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額
とする．集合 A の要素が 1 つずつ書かれたカー
ドが 4n + 1 枚ある．ただし，それぞれのカード
に書かれている要素は異なるものとする．これ
らのカードをよくまぜて，左から右に一列に並
べる．左から k 番目のカードに書かれた数を Xk
が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た
硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合
計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやり
とりは行わない．このゲームについて，以下の
問いに答えよ．
とするとき，次の確率を求めよ．
(1) A さんが B さんに勝つ確率 p，および引き分け
(1) 積 X1 X2 X3 が 0 となる．
となる確率 q をそれぞれ求めよ．
(2) 積 X1 X2 X3 が実数となる．
(3) 和 X1 + X2 が実数となる．
(2) ゲーム終了後に A さんが持っている硬貨の合計
金額の期待値 E を求めよ．
(4) X1 (X2 + X3 ) が 0 となる．
（九州大学 2014 ）
（愛媛大学 2015 ）
9
南北に平行に走る 5 本の同じ長さの線分が等間
11 n を自然数とする．1 から 2n までの番号をつけ
隔で並んでいる．西から順に，各線分の南の端点
た 2n 枚のカードを袋に入れ，よくかき混ぜて n
は，A0 ，B0 ，C0 ，D0 ，E0 であり，北の端点は，
枚を取り出し，取り出した n 枚のカードの数字
A，B，C，D，E である．各線分を 4 等分する
の合計を A，残された n 枚のカードの数字の合
点を，南から順に，1 番地，2 番地，3 番地と呼
計を B とする．このとき，以下の問に答えよ．
ぶ．隣り合う線分の同じ番地同士を結ぶ線分を
(1) n が奇数のとき，A と B が等しくないことを
橋と呼ぶ．人は南の端点のいずれかをスタート
地点として北へ向かって歩き始め，橋に出会わ
なければそのまま北へ向かって歩き続け，橋に出
会えば橋で結ばれた隣の線分に渡ってその線分
示せ．
(2) n が偶数のとき，A と B の差は偶数であること
を示せ．
(3) n = 4 のとき，A と B が等しい確率を求めよ．
を北へ向かって歩く．必要ならこれを繰り返し，
人は最終的に北の端点のゴール地点に到着する．
D に家があるとする．5 つの各スタート地点か
ら家に到着することができるそれぞれの確率を，
以下の場合に，求めなさい．
(1) 同様に確からしく，1 番地に 1 本の橋を置く場合
(2) 同様に確からしく，たがいに独立に，1 番地に 1
本，2 番地に 1 本，3 番地に 1 本の橋を置く場合
（埼玉大学 2014 ）
10 大小合わせて 2 個のサイコロがある．サイコロ
を投げると，1 から 6 までの整数の目が等しい確
率で出るとする．
(1) 2 個のサイコロを同時に投げる．出た目の差の
絶対値について，その期待値を求めよ．
(2) 2 個のサイコロを同時に投げ，出た目が異なる
ときはそこで終了する．出た目が同じときには
小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する．
終了時に出ている目の差の絶対値について，そ
の期待値を求めよ．
（名古屋大学 2014 ）
（神戸大学 2014 ）

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