¼ 2 - SUUGAKU.JP

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a > 0 とするとき，関数 f(x) = a sin 2x ¡ cos2 x について，次の問いに
3
答えよ．
一般項が an = bn 2 + crn (n = 1; 2; 3; Ý) で与えられる数列 fan g につい
て，次の問いに答えよ．ただし b; c; r は実数とする．
¼
; にただ 1 つの解 t をもつことを示せ．ま
2
た，この解 t と a との関係式を求めよ．
Z ¼
2
jf(x)j dx を (1) で定めた t を用いて表せ．
(2) 積分 I =
(1) 方程式 f(x) = 0 は区間 #0;
0
(1) fan g が a1 = ¡1; a2 = ¡16; a3 = ¡39; a4 = ¡64 をみたしていると
き，b; c; r の値を求めよ．
(2) b = ¡5; c = 2; r = 3 のとき，an の値が最小となる自然数 n の値と，そ
のときの an の値を求めよ．
(3) t の関数として表された積分 I の最小値とそのときの a の値を求めよ．
（島根大学 2008 ）
（島根大学 2009 ）
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2
次の問いに答えよ．
x+y
を
2
証明せよ．また，等号が成り立つのは x = y のときだけであることを示せ．
(1) 0 < x < ¼; 0 < y < ¼ のとき，不等式 sin x + sin y 5 2 sin
次の問いに答えよ．
2x
2x
= 1 を示せ．
(0 < x < 1) の最小値を求めて lim
2
x!1 x
x
(2) 直線 y = ax が曲線 y = 2x の接線であるとき，a の値と，接点の座標を求
(1) 関数
めよ．
(3) (2) のとき，曲線 y = 2x と接線 y = ax および y 軸で囲まれた図形を y 軸
のまわりに回転させてできる回転体の体積 V を求めよ．
（島根大学 2008 ）
(2) 八角形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 は原点 O を中心とする半径 1 の円に内接して
いて，円の中心 O はこの八角形の内部にあるとする．弧 Ai Ai+1 の長さを
®i (i = 1; 2; Ý; 7) とし，弧 A8 A1 の長さを ®8 とするとき，この八角形
の面積 S を ®1 ; ®2 ; Ý; ®8 を用いて表せ．
p
(3) (2) の八角形の面積 S について，不等式 S 5 2 2 を証明せよ．また，等号
が成り立つのはこの八角形が正八角形のときだけであることを示せ．
（島根大学 2008 ）
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集合 A を
座標平面上の 2 定点を A(¡1; 0)，B(1; 0) とする．r > 2 とし，B を中心
とする半径 r の円を C とするとき，次の問いに答えよ．
A = fa2 + b2 j a; b は整数である g
(1) 点 P(x0 ; y0 ) を円 C 上の点とするとき，AP の垂直二等分線の方程式を求
めよ．
と定める．このとき，次の問いに答えよ．
(2) 2 点 B，P を通る直線と AP の垂直二等分線との交点を Q(X; Y) とすると
(1) A に属する整数 x; y の積 xy は A に属することを示せ．
(2) 整数 p を 5 で割ったときの余りが 1 であり，整数 q を 5 で割ったときの余
p2 + q2
りが 2 であるとき，
は A に属することを示せ．
5
n
(3) A に属する自然数 n が 5 の倍数であるとき，も A に属することを示せ．
5
き，x0 ; y0 を X; Y; r を用いて表せ．
(3) 点 P が円 C 上を動くとき，点 Q の軌跡を求め，その概形をかけ．
（島根大学 2007 ）
（島根大学 2007 ）
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1 辺の長さが a の正 n 角形 A1 A2 ÝAn がある．ただし，n ¸ 7 とする．2 点
¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡!
B1 ，B2 を A1 B1 = A2 B3 ，A2 B2 = A3 B4 で定める．このとき，次の問いに
8
答えよ．
(1) A が x 軸の正の部分にあるような p の値の範囲を求めよ．
(1) 正 n 角形の外角の大きさ µ を n を用いて表せ．また，cos µ >
1
であるこ
2
とを示せ．
¡¡! ¡¡¡! ¡¡¡! ¡¡¡!
(2) ベクトル B1 B2 を A1 A2 ，A2 A3 ，A3 A4 を用いて表せ．
¡¡! ¡¡¡!
(3) 内積 B1 B2 ¢ A2 A3 を a と n を用いて表せ．
¡¡!
(4) ベクトルの大きさ jB1 B2 j を a と n を用いて表せ．
（島根大学 2007 ）
曲線 C : y = 2 log x ¡ 1 上の点 P(p; 2 log p ¡ 1) における接線と x 軸と
の交点を A とし，原点を O とする．このとき，次の問いに答えよ．
(2) (1) のもとで P が第 1 象限にあるとする．4OAP の面積 S(p) を最大にする
p を求めよ．
(3) (2) で求めた p に対し，直線 x = p と曲線 C および x 軸で囲まれた図形を
y 軸のまわりに一回転させてできる回転体の体積 V を求めよ．
（島根大学 2007 ）
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k を実数とするとき，2 つの直線
` : (k + 1)x + (1 ¡ k)y + k ¡ 1 = 0
m : kx + y + 1 = 0
について，次の問いに答えよ．
(1) k の値によらず ` はある定点を通ることを示せ．
(2) ` と m のなす角のうち鋭角を µ とするとき，cos µ を求めよ．
(3) k がすべての実数をとるとき，` と m の交点の軌跡を求めよ．
（島根大学 2006 ）

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