(1) N(5) (2) - SUUGAKU.JP

1
m を自然数とする．2m ! が 2n で割り切れる自然数 n の最大値を N(m) とお
くとき，次の問いに答えよ．
2
U = fk j k は自然数，1 5 k 5 25g を全体集合とし，U の部分集合 A; B を
次のように定める．
(1) N(5) を求めよ．
A = fk j k 2 U かつ k は 3 の倍数 g;
(2) N(m) を m の式で表せ．
(3) N(m) が素数ならば，m も素数であることを証明せよ．
（島根大学 2011 ）
B = fk j k 2 U かつ k は 4 の倍数 g
このとき，次の問いに答えよ．
(1) 2 つの集合 A \ B; A [ B を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2) m と n を自然数とし，2 次方程式
(¤)
x2 ¡ mx + n = 0
が整数解をもつとする．このとき，n が素数ならば，2 次方程式 (¤) は 1 を
解としてもつことを証明せよ．
(3) m; n を集合 A \ B の要素とする．このとき，2 次方程式 (¤) の解がすべ
て 2 以上の整数となる m と n の組 (m; n) をすべて求めよ．ただし，A と
B は，それぞれ A と B の補集合を表す．
（島根大学 2011 ）
3
5
次の問いに答えよ．
1
の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概
(1) 関数 y = B
2
x +1
形をかけ．
B
(2) 関数 y = log(x + x2 + 1) ¡ ax が極値をもつように，定数 a の値の範
囲を定めよ．
(3) 極値 lim % B
n!1
12
1
1
1
= を求めよ．
+ B
+Ý+ B
2
2
2
2
+n
2 +n
n + n2
（島根大学 2011 ）
¡
! ¡
!
自然数 n に対して，ベクトル a ; b を
1
¡
!
a = #n 4 ; n
1
4
+ 1; ;
1
1
¡
!
b = #n 4 ; 1 ¡ n 4 ;
で定めるとき，次の問いに答えよ．
¡
! ¡
!
(1) a と b のなす角を µ とするとき，cos µ を n を用いて表せ．
1
(2)
が整数となるような n を小さい順に n1 ; n2 ; Ý とするとき，i 番目
cos µ
の ni を i を用いて表せ．
¡
! ¡
!
(3) n = ni に対する a と b のなす角を µi とおく．自然数 k に対して，
Sk =
1
1
1
+
+Ý+
2
2
tan µ1
tan µ2
tan2 µk
とするとき， lim Sk を求めよ．
k!1
（島根大学 2010 ）
4
数列 fan g を初項 3，公比 3 の等比数列とし，数列 fbn g を初項 11，公差 8 の
等差数列とする．fan g と fbn g に共通に含まれる項を小さいものから順に並
べて得られる数列 fcn g の一般項を求めよ．
（島根大学 2010 ）
6
8
次の問いに答えよ．
す．この k に対して，2 つの放物線
(1) すべての実数 x に対して次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ．
B Z
f(x) = sin x + 2 2
2
0
¼
4
C1 : y = x2 + kx;
f(t) cos t dt
Z
x
0
C2 : y = ¡x2 + k2 +
9
9
k+
4
8
で囲まれた図形の面積を Sk とするとき，次の問いに答えよ．
(2) すべての実数 x に対して次の等式を満たす関数 g(x) を求めよ．
1
sin 2x +
g(x) = x ¡
2
公正に作られた n 枚のコインを同時に投げるとき，表が出た枚数を k で表
(1) Sk を求めよ．
0
g (t) cos t dt
(2) Sk 5 9 となる確率を n を用いて表せ．
1
ただし，g(x) は微分可能で，その導関数 g 0 (x) は連続であるとする．
3
8
(3) n = 5 のとき，# Sk ; の期待値を求めよ．
9
（島根大学 2009 ）
（島根大学 2010 ）
9
7
次の問いに答えよ．
O から 4ABC に垂線を下ろしたときの交点を H とする．このとき，次の問
x3
¡ x< を求めよ．
x!1
¡1
x3
の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形
(2) 関数 y = 2
x ¡1
をかけ．
(1) lim $
空間に 4 点 O(0; 0; 0)，A(0; 0; 1)，B(2; 0; 0)，C(0; 2; 0) がある．点
x2
(3) k を定数とするとき，方程式 x3 ¡ kx2 + k = 0 の異なる実数解の個数を調
べよ．
いに答えよ．
¡
!
¡
!
¡! ¡!
(1) a; b を実数とする． v = (a; b; 1) としたとき， v がベクトル AB，AC
の両方に直交するような a; b の値を求めよ．
¡!
(2) ベクトル OH の成分表示を求めよ．
(3) 四面体 OABC の体積 V および 4ABC の面積 S を求めよ．
(4) 四面体 OABC に内接する球の半径 r を求めよ．
（島根大学 2010 ）
（島根大学 2009 ）
10 a > 0 とするとき，関数 f(x) = a sin 2x ¡ cos2 x について，次の問いに
答えよ．
¼
; にただ 1 つの解 t をもつことを示せ．ま
2
た，この解 t と a との関係式を求めよ．
Z ¼
2
jf(x)j dx を (1) で定めた t を用いて表せ．
(2) 積分 I =
(1) 方程式 f(x) = 0 は区間 #0;
0
(3) t の関数として表された積分 I の最小値とそのときの a の値を求めよ．
（島根大学 2009 ）

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