(1) k - SUUGAKU.JP

年番号
1
3
a を正の定数とし，
x = a cos µ ¡ cos 2µ;
y = a sin µ + sin 2µ
氏名
a を正の実数とし，p を正の有理数とする．座標平面上の 2 つの曲線 y =
axp (x > 0) と y = log x (x > 0) を考える．この 2 つの曲線の共有点が
¼
;
#0 5 µ 5
3
1 点のみであるとし，その共有点を Q とする．以下の問いに答えよ．必要で
xp
あれば， lim
= 1 を証明なしに用いてよい．
x!1 log x
で表される曲線を C とする．曲線 C が点 P(1; 2) を通るとき，以下の問い
(1) a および点 Q の x 座標を p を用いて表せ．
に答えよ．
(2) この 2 つの曲線と x 軸で囲まれる図形を，x 軸のまわりに 1 回転してでき
(1) 定数 a の値を求めよ．
る立体の体積を p を用いて表せ．
(2) 点 P における曲線 C の接線を ` とする．` の方程式を求めよ．
(3) 曲線 C と直線 x = 1 および x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3) (2) で得られる立体の体積が 2¼ になるときの p の値を求めよ．
（東京大学 2015 ）
（福井大学 2015 ）
4
座標平面上の点 P(1; 1) を中心とし，原点 O を通る円を C1 とする．k を正
座標平面上において，曲線 C : y = e2x 上の点 P(a; e2a ) における接線 ` は
k
(x > 0) を C2 とする．C1 と C2 は 2 点で交
x
わるとし，その交点を Q，R とするとき，直線 PQ は x 軸に平行であるとす
原点 O を通るとする．
る．点 Q の x 座標を q とし，点 R の x 座標を r とする．次の問いに答えよ．
の定数として，曲線 y =
2
(1) k; q; r の値を求めよ．
(1) a の値を求めよ．
Z
Z
(2) 不定積分
log t dt および (log t)2 dt を求めよ．
(3) 曲線 C と直線 ` および y 軸で囲まれた図形を y 軸のまわりに 1 回転してで
(2) 曲線 C2 と線分 OQ，OR で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
Z qC
p
(3) x = 1 + 2 sin µ とおくことにより，定積分
2 ¡ (x ¡ 1)2 dx の値
r
を求めよ．
きる回転体の体積 V を求めよ．
（山梨大学 2015 ）
(4) 円 C1 の原点 O を含まない弧 QR と曲線 C2 で囲まれた図形を，x 軸のまわ
りに 1 回転してできる回転体の体積 V を求めよ．
（広島大学 2015 ）
5
7
関数 f(x) を
f(x) = e¡x x2 (x2 + ax + b)
cos µ ¡ sin µ = a sin µ cos µ;
で定める．ただし，a; b は実数，e は自然対数の底とする．次の問いに答
えよ．
0<µ<¼
を満たす µ について，以下の問いに答えよ．
¼
の範囲で，ただ 1 つ存在することを示せ．
2
(2) 条件を満たす µ の個数を求めよ．
(1) 条件を満たす µ は，0 < µ <
(1) f(x) の導関数を f0 (x) とする．f(¡1) = 10e，f0 (1) = 0 のとき，a; b
の値を求めよ．
（熊本大学 2014 ）
(2) a; b を (1) で求めた値とする．このとき x = 0 における f(x) の最大値，
最小値を求め，そのときの x の値を求めよ．ただし，2 < e < 3 であること
を用いてよい．
（東京農工大学 2015 ）
6
a を正の定数とする．条件
a を実数とし，f(x) = xex ¡ x2 ¡ ax とする．曲線 y = f(x) 上の点
(0; f(0)) における接線の傾きを ¡1 とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1) a の値を求めよ．
(2) 関数 y = f(x) の極値を求めよ．
(3) b を実数とするとき，2 つの曲線 y = xex と y = x2 +ax+b の ¡1 5 x 5 1
の範囲での共有点の個数を調べよ．
（神戸大学 2014 ）

Download Report