(1) x - SUUGAKU.JP

1
数直線上を次の規則で動く点 P がある．
(規則 A)
4
コインを投げて，表が出たら正の方向に 2 進み，裏が出たら負の方向に 1 進む．
はじめに点 P は原点 O にあるものとし，n 回コインを投げたときの点 P の座標を X(n) で表す．
このとき，以下の問いに答えよ．
実数を成分に持つ行列 A = #
a b
b a
; とベクトル P = #
x
y
;; Q = #
z
w
; について，以下の問
いに答えよ．ただし，b Ë 0 とする．
p
2
のとき，AP = ®P と y > 0 を満たす ® と y を求めよ．
(1) x =
2
(2) 次の 3 条件を満たす ¯; z; w を求めよ．
(1) X(9) = 0 となる確率を求めよ．
(2) 点 P が座標 ¡3 に到達した場合，その後コインを投げても移動しないという条件を (規則 A) に
AQ = ¯Q;
z2 + w2 = 1;
z<w
追加した新たな規則を (規則 B) とする．このとき，X(9) = 0 となる確率を求めよ．
(3) (1) と (2) で定められた ®; ¯; x; y; z; w を用いて，次式を計算せよ．
(3) (規則 B) のもとで，X(4) の期待値を求めよ．
（愛知県立大学 2011 ）
2
方程式 y = ¡x2 + 2x + 8 で表される放物線を C1 とする．放物線 C1 と x 軸とで囲まれた図形
の内部にある円で，放物線 C1 と x 軸に 3 点で接するものを C2 とする．放物線 C1 と x 軸との
2 つの交点，および放物線 C1 の頂点を通る円を C3 とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 円 C2 の方程式を求めよ．
(2) 円 C3 の面積が円 C2 の面積の何倍になるか求めよ．
(3) 放物線 C1 の頂点を通り，円 C2 に接する 2 つの接線の方程式を求めよ．
（愛知県立大学 2011 ）
3
曲線 C1 : y = p cos x，C2 : y = q sin x について，以下の問いに答えよ．ただし，0 5 x 5
¼
; p > 0; q > 0 である．
2
(1) 曲線 C1 と C2 の交点の x 座標を ® とするとき，sin ® と cos ® を p; q で表せ．
(2) 曲線 C1 ; C2 と x 軸で囲まれた部分の面積を S とするとき，S を p; q で表せ．
(3) p; q が p2 + q2 = 4 を満たすとき，(2) で求めた面積 S の最大値を求めよ．
（愛知県立大学 2011 ）
®#
x
y
;( x y ) + ¯#
z
w
;( z w )
(4) (3) の結果を用いて，An を求めよ．ただし，n は 1 以上の自然数とする．
（愛知県立大学 2011 ）

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