1 関数 y = 2(8 x +81¡x)¡9(4x +41¡x) + 24(2x +21¡x

1
関数 y = 2(8x + 81¡x ) ¡ 9(4x + 41¡x ) + 24(2x + 21¡x ) ¡ 12 について，以
下の問いに答えよ．
2
(1) 関数 t = 2x + 21¡x とするとき，y を t で表せ．
4ABC の頂点を移動する点 P があり，初め頂点 A にいる．その後，1 秒毎
に，以下の規則に従ってその位置を変化させる．
(2) (1) で定義した t の最小値とそのときの x の値を求めよ．
(3) y の最小値とそのときの x の値を求めよ．
‘ 頂点 A にいるときは，確率
1
1
で頂点 B に移るか，確率
で頂点 C に
2
2
移る．
（愛知県立大学 2015 ）
’ 頂点 B にいるときは，確率
1
1
で頂点 A に移るか，確率
で頂点 B にと
2
4
1
で頂点 C に移る．
4
1
1
“ 頂点 C にいるときは，確率
で頂点 A に移るか，確率
で頂点 B へ移
2
4
1
るか，確率
で頂点 C にとどまる．
4
どまるか，確率
初め頂点 A にいた点 P が n 秒後に頂点 A，頂点 B にいる確率をそれぞれ pn ，
qn とする．以下の問いに答えよ．
(1) p1 ; q1 ; p2 ; q2 を求めよ．
(2) pn+1 ; qn+1 をそれぞれ pn の式で表せ．
(3) pn ; qn をそれぞれ n の式で表せ．
(4) lim pn ; lim qn をそれぞれ求めよ．
n!1
n!1
（愛知県立大学 2015 ）
3
座標空間において，3 点 O(0; 0; 0)，A(1; 1; 0)，B(2; 1; 1) の定める平
4
a > 1，b > 0，c > 0，f(t) = a¡bt とする．点 P の座標 (x; y) が，時刻
面を ® とし，3 点 (0; 0; 0)，(0; 1; 1)，(1; 0; 1) の定める平面を ¯ とす
t の関数として x = f(t) cos t，y = f(t) sin t のように表されるとき，以
る．また，平面 ® と平面 ¯ が交わってできる直線を ` とし，平面 ® 上の点
下の問いに答えよ．
P の座標を (2; ¡1; 3) とする．このとき，以下の問いに答えよ．
¡! ¡! ¡!
(1) OP を OA，OB を用いて表せ．
¡! ¡!
(2) 直線 ` 上の点を OA，OB と実数 k を用いて表せ．
(3) 点 P から直線 ` に垂線を下ろす．このとき，直線 ` と垂線との交点の座標
を求めよ．
(1) f(t) を t について微分せよ．
(2) t = 0 から t = c までの間に点 P が動く道のり l を a; b; c で表せ．
(3) (2) の l について，L = lim l を a; b で表せ．
c!1
(4) t = 0 から t = d までの間に点 P が動く道のりが，(3) で求めた L の
1
2
であるとする．a = 2，b = 5 であるとき d を求めよ．
（愛知県立大学 2015 ）
（愛知県立大学 2015 ）
5
1 辺の長さが a1 の正五角形を P1 とする．P1 の対角線を 1 辺とする正五角形
を P2 とし，P2 の対角線を 1 辺とする正五角形を P3 とする．このように対
角線から次の正五角形を繰り返してつくるものとする．このとき，n > 1 に
おける Pn の 1 辺の長さを an とし，以下の問いに答えよ．
(1) 数列 fan g の一般項を a1 と n を用いて表せ．
6
以下の問いに答えよ．
Z¼
(1) 定積分
cos mx cos nx dx を求めよ．ただし，m; n は自然数とする．
0
(2) a と b を a < b を満たす実数とし，f(x) と g(x) を区間 [a; b] で定義さ
れた連続な関数とする．また，
Z
(2) 整数の数列 fxn g と fyn g を用いて
b
ff(x)g dx Ë 0;
a
p
xn + 5yn
an =
2
2
Z
b
a
fg(x)g2 dx Ë 0
であるとする．このとき，任意の実数 t に対して
と書けるとする．このとき，xn+2 を xn と xn+1 を用いて表せ．
（愛知県立大学 2014 ）
Z
b
a
ftf(x) + g(x)g2 dx = 0
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
2
Zb
Zb
Zb
2
T
f(x)g(x) dxl 5 $
ff(x)g dx< $
fg(x)g2 dx<
a
a
a
また，等号が成り立つ条件は，k を定数として g(x) = kf(x) と表せると
きであることを示せ．
(3) f(x) は区間 [¡¼; ¼] で定義された連続な関数で
Z
満たす．このとき，
I=
Z
¼
¡¼
ff(x)g2 dx = 1 を
¼
¡¼
f(x) cos 2x dx
を最大とする f(x) とそのときの I の値を求めよ．
（愛知県立大学 2014 ）
7
座標平面上に点 P(x; y)，点 F(1; 0)，点 F0 (¡1; 0)，および直線 ` : x = 2
8
t を 1 5 t 5 6 を満たす実数とする．原点を O(0; 0) とする座標平面上に，
がある．点 P から直線 ` に下ろした垂線を PH とする．また，点 P と点 F，
点 A(1; 0)，B(3; 0)，C(3; 12)，D(1; 12)，P(7; 0)，Q(t; 7t ¡ t2 ) を
F0 ，H との距離を，それぞれ PF，PF0 ，PH とし，原点 O と点 P の距離を
PF
1
r とする．比
の値が p となる点 P の軌跡を C とするとき，以下の
PH
2
問いに答えよ．
とる．長方形 ABCD と 4OPQ の共通部分の面積を f(t) とするとき，以下
(1) C の方程式を求めよ．
の問いに答えよ．
(1) f(t) を求めよ．
(2) 3 個のさいころを同時に投げて，出た目の合計を m とする．このとき，
(2) PF + PF0 は定数となる．その値を求めよ．
0
(3) PF ¢ PF を r を用いて表せ．
¼
とする．このとき，r の値と点 P の
3
座標を求めよ．また，C 上の求めた点 P における接線の方程式を求めよ．
(4) 点 P は第 1 象限にあり，ÎF0 PF =
f#
m
; < 3m
3
となる確率を求めよ．
（愛知県立大学 2013 ）
（愛知県立大学 2014 ）
9
座標平面上で，原点 O を始点とし第 1 象限の点 A を通る半直線 OA と x 軸
¼
; とする．点 B は x 軸上にあり，
の正の向きとのなす角を µ #0 < µ <
2
¡!
¡!
jOBj = b，jOAj = a とする．原点 O から直線 AB に下ろした垂線と直線
AB との交点を P とする．このとき，以下の問いに答えよ．
¡!
¡!
¡!
¡!
¡!
(1) AP = tAB とおく．OP = tOB + (1 ¡ t)OA であることを示し，t を
10 a を a > 2 を満たす実数とし，
f(t) =
sin2 at + t2
;
at sin at
g(t) =
とする．また，C を曲線 x2 ¡ y2 =
下の問いに答えよ．
sin2 at ¡ t2
at sin at
4
a2
#x =
#0 < t <
¼
;
2a
2
; とする．このとき，以
a
a; b; µ で表せ．
(2) µ を固定し b = 1 とする．点 P が線分 AB 上に存在するような a の値の範
囲を求めよ．
(1) 点 (f(t); g(t)) は，曲線 C 上の点であることを示せ．
(2) 点 $lim f(t); lim g(t)< における曲線 C の法線の方程式を求めよ．
t!0
(3) (2) において，4OAB の面積の最大値を求めよ．
¼
とする．面積が最大となる 4OAB は直角三角形で
(4) (2) において，µ =
3
あることを示せ．
（愛知県立大学 2013 ）
t!0
(3) 曲線 C と (2) で求めた法線および x 軸とで囲まれた部分を，x 軸のまわり
に 1 回転させてできる回転体の体積を V(a) とする．V(a) を a を用いて表
せ．また， lim V(a) を求めよ．
a!1
（愛知県立大学 2013 ）

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