1 放物線 y = x2 上の点 P(t, t2 ) から直線 y = x で垂線を引き, 交点を H とする。ただし, t > 1 とする。 このとき, 以下の問いに答えよ。 (1) H の座標を t を用いて表せ。 (2) P を通り y 軸に平行な直線と直線 y = x との交点の座標を R とするとき, 三角形 PRH の面積を t を 用いて表せ。 (3) x ≧ 1 の範囲において, 放物線 y = x2 と直線 y = x および線分 PH とで囲まれた図形の面積を S1 と するとき, S1 を t を用いて表せ。 (4) 放物線 y = x2 と直線 y = x で囲まれた図形の面積を S2 とする。S1 = S2 であるとき, t の値を求めよ。 (2011 年度 九州大学) 2 数列 a1 , a2 , · · · , an , · · · は an+1 = 2an 1 − a2n (n = 1, 2, 3, · · · ) を満たしているとする。このとき, 以下の問いに答えよ。 (1) a1 = √1 とするとき, a10 および a11 を求めよ。 3 (2) tan π の値を求めよ。 12 (3) a1 = tan π とする。ak = a1 を満たす 2 以上の自然数 k で最小のものを求めよ。 7 (2011 年度 九州大学) −→ −→ −→ − → 3 平面上に直角三角形 ABC があり, その斜辺 BC の長さを 2 とする。また, 点 O は 4OA− OB− OC = 0 をみたしているとする。このとき, 以下の問いに答えよ。 (1) 辺 BC の中点を M とするとき, 点 A は線分 OM の中点となることを示せ。 −→ (2) OB −→ (3) 4 PA 2 −→ + OC 2 −→ − PB 2 = 10 となることを示せ。 2 −→ − PC 2 −→ = −4 をみたす点を P とするとき, OP の値を求めよ。 (2011 年度 九州大学) 4 1 から 4 までの数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードがある。その 4 枚のカードを横一列に並べ, 以 下の操作を考える。 1 から 4 までの数字が 1 つずつ書かれた 4 個の球が入っている袋から同時に 2 個の球を取り 出す。球に書かれた数字が i と j ならば, i のカードと j のカードをいれかえる。その後, 2 個 の球は袋に戻す。 初めにカードを左から順に 1, 2, 3, 4 と並べ, 上の操作を繰り返した後のカードについて, 以下の問いに答 えよ。 (1) カードが左から順に 1, 2, 3, 4 と並ぶ確率を求めよ。 (2) カードが左から順に 4, 3, 2, 1 と並ぶ確率を求めよ。 (3) 左端のカードの数字が 1 になる確率を求めよ。 (4) 左端のカードの数字の期待値を求めよ。 (2011 年度 九州大学) 回放物線y＝￡2上の点P恒2）から直線封＝方へ垂線を引き，交点をHとする。ただし，ま＞1とする。 このとき，以下の問いに答えよ。 （1）Hの座標を壬を用いて表せ。 （2）Pを通りy軸に平行な直線と直線y＝芯との交点の座標をRとするとき，三角形PRHの面積を壬を 用いて表せ。 （3）諾≧1の範囲において，放物線封＝∬2と直線Ⅷ＝諾および線分PHとで囲まれた図形の面積を51と するとき，51を吉を用いて表せ。 （4）放物線y＝∬2と直線Ⅷ＝芯で囲まれた図形の面積を52とする。gl＝g2であるとき，亡の値を求めよ。 （2011年度九州大学） （り朗詠PHfl傾き−い、’（り1）t適S言’右賽亘l‡ 3 3−11二一川−t） ヨニーメ十t、寸t 繰 二丈 の緑・‡ 叉＝−ズ十t㍉t Hr誓、李） ォ；蓮 等こユ已 1 ■ ュ い町去pRこ高い1−り ユ l l ） j l △PRH＝iFトl＝三・主正tゞ＝古い午一之古tL） い’㌧作品十細目 」‡一汗工匠一武打 二巨㍉巨一打ナr l よ き くく） ￡iご 1．’ いイ）」ズ ＝［上告＝‡ ⊥tサーh㌧石上ト音−㌃ t ＿l 膏jt㌧ヱト∼）こ。 t＞J H l十万言 tニ ー⊥L巴一一 j ／′ l J 回数列α1，α2，…，α凡，…は α刷＝葦 恒1，2，3，…） を満たしているとする。このとき，以下の問いに答えよ。 （1）α1＝吉とするとき，α10およびα11を求めよ0 （2）tan昔の借を求めよ0 （3）α1＝tan号とする0αた＝α1を満たす2以上の自然数たで最小のものを求めよ0 （2011年度九州大学） 1柚の2f鴫。公式ドJよう新化武 戊，＝ ＿星空 rTミーム 以降・・細加的ミ ュ＝戻ヰ二、−−ミ久．p；お、仇羞こ如五、．、ミ8．．いぶ 8．。こおけ 岬 丑山＿三＿二塁」 Ol ユ朋。公右リ 1叫互二二三竺 Xi十ユホ→こ。 畠 トt4ヱ言 い臣2 式ニー恥言も由 小川か一応十j l ユズ t叫盲ニヱrおヶ 陀 l−ri b）強化式り q2＝われ号汀、恥三七紬等T、、、、 ￣扱抜け・‰＝t細宣下 湖上 餉＝戊．Jリ ㌔−■ 一丁 て机∵耳￣甘言セ軌7 甘 号−¶＝可十れれ両軸） 予一二I十ワル 博一い布くトワれ） ∠ やこ執∼（巨りれう一t 緑ユ段上の扇だ教で浸′ト一二利。声音れ31の㌔き ゃ三4〃 ＠］平面上に直角攣形ABCがあり，その斜辺BCの長さを2とするoまた，点0は461−品−63＝盲 をみたしているとする。このとき，以下の問いに答えよ。 （1）辺BCの中点をMとするとき，点Aは線分OMの中点となることを示せ。 （2）図2＋属l2＝10となることを示せ。 （3）41副吊耕一岡2＝−4をみたす点をPとするとき，園の値を求めよ。 （2011年度九州大学） （■） M−ユ由Bc。中風より oM弓局十蒜） 掃一品＿蒜三言より 0A王手（蒜十品） 蒜弓請い員佃碑木酢凋㌧ い）∠Aニ？00J再tAくまMtヤ′ごりま芋確lの巧ノ司上tミあき 誼＝言、霜三屋しぶくと（。より 諒ミ2才ヰ言 諒三主音＿ヱ 聞三刺ごl i勘㍉持汗二巨富十点ll十回」汀 二 障l㌦汗汗 ≧ 旨十且 ＝JO B 胤。 〔き）4圃1一拍汗」針ニー年 号掃言汗1品一石汗一局一針㌦−4 年蘭1＿合議ぶ＋頼汗一l訂＋且蒜・霹㌦l盲汗−1訂十蒜・宗一l石打三一年 4郁一偏主副iト旦霹（相識一蒜）寸描一九＝r年 中卜（8−日＋汗針二一年 蘭1−一 同＝7 回1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。その4枚のカードを横一列に並べ，以 下の操作を考える。 1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が入っている袋から同時に2個の球を取り 出す。球に書かれた数字が亘とJならば，盲のカードとjのカードをいれかえる。その後，2個 の球は袋に戻す。 初めにカードを左から順に1，2，3，4と並べ，上の操作を2回繰り返した後のカードについて，以下の問い に答えよ。 （1）カードが左から順に1，2，3，4と並ぶ確率を求めよ。 （2）カードが左から順に4，3，2，1と並ぶ確率を求めよ。 （3）左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。 （4）左端のカードの数字の期待値を求めよ。 （2011年度九州大学） （l）そつ頼れ、ら2コ仇坤t射曳1…14Gこく逸り トドゎヾ左らち、日．今t違、i、のけ1巨ド 弓し取った七、と酉官も吊 射tき く J − 占．′ ‘1 − い ゎイゎ（左も、う十、3、2、It如く1qt手、1回旺7巨千綿ク7ヱ銅√＝旦tjt即しヨ・ 頼り．1自恥∑七日奉，71卵−＝1㌢4盲取るとき 一言Yl＝花 ち ら ′′ （31キ哨”（、1㌦733仇11攻の旦通り い 1句とも1以タトもti七号 Grと）1 7 ト1 主も し−1日t2月、純一11t3t2回、持パ1い午卜摘＝1日 ‡章3＝主 し日、いけ いド刊絹より 十 三意弓．． U）左鴫丁のわー かヾ1日jちか、ノ暗孝一Tll．ソ I l ト∫ミJ 封島のわイゎ（一旦、3、千とわi裾辛‘17人・て写し．tの7−■＿その施幸．1 7ミ3こす 有れミ和利痘り 1 1 と 1 ノ十千十ム十才 1X了＋呈Xす十3Yす十十大手三 之J 7 7￣ ゴ
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