数理科学演習 II レポート問題解答第1回第2回

数理科学演習 II レポート問題解答第１回
1. 全員正解したので省略する．
2. q = ∞ のとき．
∥f ∥Lp ≤ · · · ≤ ∥f ∥L∞ µ(S)1/p .
q < ∞ のときは全員正解したので省略する．
3. 全員正解したので省略する．
第２回
1. K = ∪|y|≤1 supp τy g とおくと K はコンパクト集合であり，supp τy g ⊂ K (|y| ≤ 1) である．
uniformly
特に µ(K) < ∞. g の一様連続性から，τy g −−−−−→ g (|y| → 0). よって，
∫
∫
p
p
∥τy g − g∥Lp =
|τy g(x) − g(x)| dx =
|τy g(x) − g(x)|p dx
Rn
K
≤ sup |τy g(x) − g(x)|p µ(K) −→ 0 (|y| → 0).
x∈K
したがって， ∥τy g − g∥Lp −→ 0 (|y| → 0).
2. (1) τy 1[0,1] (x) − 1[0,1] (x) = 1[0,1] (x − y) − 1[0,1] (x) = 1[y,1+y] (x) − 1[0,1] (x) である．
(i) 1 ≤ p < ∞ のとき．|y| > 1 ならば，supp τy 1[0,1] ∩ supp 1[0,1] = ϕ より，
)1/p
(∫
∥τy 1[0,1] − 1[0,1] ∥Lp =
(1[y,1+y] (x) + 1[0,1] (x))dx
= 21/p .
|y| ≤ 1 ならば，y > 0, y < 0 と場合分けすることによって
∥τy 1[0,1] − 1[0,1] ∥Lp = (2|y|)1/p
となる．
(ii) p = ∞ のとき．∥τy 1[0,1] − 1[0,1] ∥L∞ = 1.
(2) |y| ≤ 1 としてよいから (1) より，
lim ∥τy 1[0,1] − 1[0,1] ∥Lp =
y→0
{
0 (1 ≤ p < ∞)
1 (p = ∞)
である．
3.
∫
f ∗ g(x) =
f (x − y)g(y)dy
g(y) = 0 ⇐⇒ y ≤ −b, b ≤ y
f (x − y) = 0 ⇐⇒ x − y ≤ −a, a ≤ x − y ⇐⇒ y ≤ x − a, x + a ≤ y
よって，f (x − y)g(y) = 0 for y ∈ [(−b, b) ∩ (x − a, x + a)]c .
1
• |x| ≥ a + b のとき．(−b, b) ∩ (x − a, x + a) = ϕ だから，f ∗ g(x) = 0.
• −b < x + a ≤ b のとき． ⇐⇒ −a − b < x ≤ b − a.
∫ x+a
f ∗ g(x) =
dy = x + a + b.
−b
• −b ≤ x − a < b のとき． ⇐⇒ a − b ≤ x < a + b.
∫ b
f ∗ g(x) =
dy = −x + a + b.
x−a
• x − a < −b かつ b < x + a のとき． ⇐⇒ b − a < x < a − b.
∫ b
f ∗ g(x) =
dy = 2b.
−b
したがって，
f ∗ g(x) =









0
(|x| ≥ a + b)
x + a + b (−a − b < x ≤ b − a)
2b
(b − a < x < a − b)
−x + a + b (a − b ≤ x < a + b)
y
y
y
6
6
6
.
. 2b
..
.
−a
1
o
..
. -x
a
図１: y = f (x)
1
..
..
.
.
−b o b
-x
... ...\
\
.. .. \
.. .. \
.. o ..
\ - x
−a − b b − a a − b a + b
図３: y = f ∗ g(x)
図２: y = g(x)
2

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