ex.112 (1) 逆は『 x = 2 かつ y = 3 ⇒ x + y = 5』裏は『x + y ̸= 5 ⇒ x ̸

ex.112
(1) 逆は『x = 2 かつ y = 3 ⇒ x + y = 5』
裏は『x + y ̸= 5 ⇒ x ̸= 2 または y ̸= 3』
対偶は『x ̸= 2 または y ̸= 3 ⇒ x + y ̸= 5』
2 + 3 = 5 だから逆は真，よってその対偶である裏も真。
1 + 4 = 5 だから対偶は偽，よってもとの命題も偽。
(2) 逆は『x, y の少なくとも一方が無理数ならば，xy は無理数である。』
裏は『xy が有理数ならば，x, y はともに有理数である。』
対偶は『x, y がともに有理数ならば，xy は有理数である。』
√
√
2 × 2 = 2 だから逆は偽，よってその対偶である裏も偽。
p r
pr
x, y がともに有理数ならば，既約分数 , を用いて xy = と表せる。
q s
qs
これは xy を既約分数で表せることを示すので，xy は有理数である。
よって対偶は真，よってもとの命題も真。
ex.113
対偶は『整数 a, b について，
a, b がともに 3 の倍数でないならば，積 ab は 3 の倍数でない。』
m, n を整数とすると，
3 の倍数でない整数 a, b は a = 3m ± 1, b = 3n ± 1 と表すことができる。
このとき ab = 3(3mn ± m ± n) ± 1 だから，積 ab は 3 の倍数でない。
よって対偶は真，よってもとの命題も真。
1
ex.114
√
√
1
1
r を有理数と仮定して √ + √ = r とおくと， 3 + 1 = 6r だから，
2
6
√
√
両辺を 2 乗すると 4 + 2 3 = 6r2 ，すなわち 3 = 3r2 − 2。
√
この右辺は有理数であるから， 3が有理数となり矛盾する。
1
1
√ + √ は無理数。
したがって，
2
6
ex.115
元の命題の対偶は『n が奇数ならば n(n + 2) は 8 の倍数でない』。
n が奇数ならば，自然数 m を用いて n = 2m − 1 と表せる。
n(n + 2) = (2m − 1)(2m + 1) = 4m2 − 1 は 8 の倍数ではないので，対偶は真。
よって元の命題も真。
ex.116
(1) 5 の倍数でない整数 n は，m と k を整数とすると n = 5m + k と表される。
ただし 1 5 k 5 4 とする。
このとき n2 = 5(5m2 + 2mk) + k 2 ，k は 1, 2, 3, 4 のいずれかだから，
k 2 は 1, 4, 9, 16 のいずれか。
よって k 2 は 5 の倍数でないから n2 も 5 の倍数でない。
√
q
5が既約分数で表されると仮定する。
p
√
p 5 = q の両辺を 2 乗すると，5p2 = q 2 より q 2 は 5 の倍数。
先の命題の対偶は『n2 が 5 の倍数ならば n は 5 の倍数』だから，
q は 5 の倍数なので整数 r を用いて q = 5r と表せる。
このとき，p2 = 5r2 より p2 は 5 の倍数だから p も 5 の倍数。
√
q
これはが既約分数であることに反する。よって 5は無理数。
p
q
(2) αが既約分数で表されると仮定する。
p
与式の両辺を p3 倍すると，q 3 + p2 q + p3 = 0。
i) p, q が共に奇数ならば，
q 3 , p2 q, p3 はいずれも奇数なので，左辺は 0 にならない。
ii) p が奇数で q が偶数ならば，
q 3 と p2 q は偶数で p3 は奇数なので，左辺は 0 にならない。
iii) p が偶数で q が奇数ならば，
q 3 は奇数で p2 q と p3 は偶数なので，左辺は 0 にならない。
iv) p, q が共に偶数ならば，既約分数ではないので不適。
以上より αを既約分数で表すことはできないので，
αは無理数。
2
ex.117
√
(1) 与式 = (x − 6y + 16) + 4(y − 3) 2 = 0 より，x − 6y + 16 = y − 3 = 0
ゆえに y = 3, x = 2
√
√
√
(2) (−1 + 2)x2 + a(−1 + 2) + b = (3 − a + b) − (2 − a) 2 = 0 より，
3 − a + b = 2 − a = 0，ゆえに a = 2, b = −1
3

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