第 章 連続関数の空間 連続関数の定義 いま 関数 とする を の部分集合とし 関数 が において定義されているとする．このとき が点 において連続であるということは 次の条件 のいずれかが満たされることをいう： は の集積点であって は の孤立点である． このことは 論法でいうと 任意の正の数 に対し ある正の数 が存在して ならば が成り立つ ことである． 論理記号を用いて表せば が成り立つことを意味する． が の各点 において連続であるとき 関数 いて連続であるという． は にお 連続関数の基本性質 本節においては 連続関数の基本性質について考察する すなわち 次の三つの定理が成り立つ ここで とする 定理 は 中間値の定理 は の領域とする 関数 において連続であるとする いま の 点 に対し であると仮定する このとき と の中間にあ る任意の実数 に対し となる の点 が存在する 定理 最大値・最小値の存在定理 の有界閉集合 に おいて連続な関数 は有界で において最大値と最小値 をとる 定理 一様連続性の定理 の有界閉集合 続な関数 は において一様連続である すなわち 次の条件： 任意の に対し ある ならば において連 が存在して 満たされる 連続関数の空間 関数空間の位相 本項においては の領域を として 上定義された連続関 の位相を考える ただし とす 数全体のつくる関数空間 る このことは の場合にも成り立つ 一般に はノルム空間にはならないことを注意する さらに のコンパクト集合 に対し 上定義された連続関 数全体のつくる関数空間 の一様収束の位相を考える このとき はバナッハ空間になる 関数空間 このとき 関数空間 係式 の一様収束の位相 において の元 の距離を 関 によって定義する この距離 によって関数空間 は完備な距離空間になる 距離空間 においては一様収束の位相を考えている した がって において連続関数列の一様収束について考えること ができる このとき 次の定理が成り立つ 定理 上の記号を用いる このとき が において関数 に一様収束するならば り立つ の関数列 が成 定理 より 一様収束の位相は連続関数の特性によく適合して いることがわかる 関数空間 このとき 関数空間 の広義一様収束の位相 において セミノルム は のコンパクト部分集合 の系 は のコンパクト部分集合 による収束の概念を において広義一様収束の位相を考 用いる これは 関数空間 えることである したがって 次の定理が成り立つ 定理 上の記号を用いる このとき の関数列 が において関数 に広義一様収束するならば が成り立つ 定理 より 広義一様収束の位相も連続関数の特性によく適合 していることがわかる それに対し 上定義された連続関数列 の各点収束の意 は において連続関数であるとは限らない 味での極限関数 例えば 次のような例がある 例 関数 が関係式 は有理数 は無理数 によって定義されているとき このとき ディリクレ関数 が成り立つ したがって 関数 ディリクレ関数 は 関数空間 はディリクレ関数であるという に対して 各点収束の意味で 等式 は において連続であるが においていたるところ不連続である の一様収束の位相 のコンパクト集合 に対し 上定義された連続関数全体の つくる関数空間 の一様収束の位相を考える の元 に対し ノルムを 関係式 によって定義する このノルムによって はバナッハ空間になる バナッハ空間 においては一様収束の位相を考えている し たがって において連続関数列の一様収束について考えるこ とができる このとき 次の定理が成り立つ 定理 上の記号を用いる このとき が において関数 に一様収束するならば り立つ 定理 アスコリ・アルツェラの定理 上の連続関数の列 集合であるとする いま を満たすとする： の関数列 が成 は の有界閉 が次の条件 は一様有界である すなわち ある定数 が存在して 条件 が成り立つ は 任意の 上同程度一様連続である すなわち に対し ある正の数 ならば が成り立つ が存在して このとき 収束する のある部分列 が存在して は 上一様 証明 仮定によって は可分であるから 点列 が にお いて稠密な部分集合であるように選ぶ このとき 条件 によって 各点 において 実数列 は有界であるから 収束部分列 を選ぶことができる し たがって 対角線論法によって の部分列 を選んで 各 点 において 実数列 が収束するようにできる 仮定 によって は同程度一様連続であるから 任意の に対して ある正の数 を選んで ならば が成り立つようにできる このとき 点列 は において稠密であるから 有限部分列 を適当に選んで 任意の に対し ある が存在して となるようにできる いま ある正の整数 を適当に選んで ならば が成り立つようにできる このとき 不等式 が成り立つ は の任意の点であるから 部分列 一様収束することが証明された が 上 局所化の原理 本節においては 局所化の原理を用いた実数値連続関数の特徴付 けについて考察する 以下において 実数値連続関数のつくる前層 は局所化の 原理を満たし 層であることを証明する 層の理論についての詳細は 著書 伊東 第 章を参照しても らいたい は の部分集合であるとする は の位相から誘導され た位相に関して位相空間であるとする このとき 次の定理が成り立つ 定理 は の部分位相空間であるとする 各開集合 に対し 上定義された実数値連続関数全体のつくる関数空 と表す 間を このとき の任意の二つの開集合 で となるもの に対し 線形写像 が対応していて 次の を満たす なる任意の開集合 に対し 関係式 が成り立つ このとき の体系 定理 と自然な制限写像 は 上の前層である において に対し と表す 定理 成り立つ 上の前層 の開集合 る らば の開被覆 が 任意の が成り立つ の開集合 系 層である が が与えられているとす に対し 条件 の開被覆 る 各 に対し に対し 条件 が存在して 定理 に対し 次の条件 を満たすな が与えられているとす が与えられていて すべての が満たされるならば ある が成り立つ によって 次の系を得る 定理 の記号を用いる このとき 前層 は 定理 の前層 を用いて 次のようにして層 を作ると これは系 の層 と同型である いま 上の層 を次のように構成する 各 に対し 帰納極限 によって を定義する すなわち は商空間 であるとして定義する ここで に で 対し関係 が成り立つということは ある開集合 を満たすものが存在して 関係式 が成り立つこと であると定義する この関係は同値関係であるから 上の商空間は 意味をもつ を における茎といい の における像を の に おける芽といい これを と表す このとき は 写像 の直和であるとし 上への連続写像 であると定義する このとき の各開集合 を関係式 と は に対し 写像 によって定義する これによって において いずれの をも連続にする 最強の位相を定義すると 対 は 上の層になる すなわち は位相空間で は から の上への連続写像であって 局所同相 写像である この層 は前層 から誘導された層である このとき 各 に対し が成り立つ いま は 上の層であるとし は の任意の部分集合で あるとする このとき 連続写像 が 上の切断である とは 条件 が成り立つことであると定義する ここで 上の切断全体のつくる集合を と表す このとき は 上のベクトル空間である 系 は次の系の形に言い換えられる 系 系 において 前層 とする このとき の任意の開集合 間としての同型 から誘導された層を に対して ベクトル空 が成り立つ 定理 の条件 件である この条件 理であるという は前層 は前層 が層であるための条 に対する局所化の原
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