第 9 章連続写像

第 9 章連続写像
9.1 写像の極限
本節においては写像の極限の概念について考察する.
X と Y は二つの位相空間であるとする. 一般に, f は X のある部
分集合 D から Y の中への写像であるとする. A は D の集積点の集
合であるとする.
集合 {f (x); x ∈ D} の触集合 B に対し,
lim f (x) = B
x→A
であるということは, B の任意の近傍 V に対し, A のある近傍 U が
存在して,
f ((U ∩ D)\A) ⊂ V
が成り立つことであると定義する. このとき,
lim f (x) = B
x→A
であることを,
f (x) → B, (x → A)
と表すことがある.
いま, 極限
lim f (x) = B
x→A
1
が成り立つことは, xα → A となる D\A の任意の有向点列 {xα } に
対し, B が極限集合
lim f (xα )
全体の合併集合であることと同値である.
与えられた f と X の集合 A = {a} に対し, B = {b} であるなら
ば, b は x → a のときの f (x) の極限点であるといい, x → a のとき
の f (x) の極限であるという.
X と Y は二つの位相空間であるとし, f : X → Y は関数ある
いは写像であるとし, D は f の定義域であるとする. A は D の集
積点の集合であるとし, U(A) は A の基本近傍系であるとする. こ
のとき, さらに, (U ∩ D)\A ̸= ∅ であると仮定する. このとき,
{f ((U ∩ D)\A); U ∈ U(A)} は Y のフィルターの基になる. いま,
Φ はこのフィルターの基によって生成されたフィルターであるとす
る. このとき, x → A ならば f (x) → B が成り立つことと Φ → B
が成り立つことは同値である.
次に, 6.1 節において定義した数列の広義の極限を考えるとき, 1
価関数の列 {fn (x)} の各点収束による極限関数 f (x) が多価関数に
よって与えられるような例があることを示す.
例 9.1.1 有理数の全体に番号を付けた数列を {an } とする. こ
のとき, R 上の関数列 {fn (x)} が次のように定義されているとする.
すなわち, 各関数 fn (x) は定数関数で, 関係式
fn (x) = an , (x ∈ R, n ≥ 1)
によって定義されているとする. このとき, 各点 x ∈ R において,
fn (x) = an → R, (n → ∞)
が成り立つ. これに関しては例 6.1.2 を参照してもらいたい. ゆえ
に, 1 価関数の列 {fn (x)} の極限関数 f (x) は無限多価関数
f (x) = R, (x ∈ R)
2
によって与えられる.
次に, これを一般化して, 定数関数とは限らない関数列の広義の
各点収束極限の例を与える.
例 9.1.2 N = {0, 1, 2, · · · } は自然数全体の集合であるとする.
S∞ = S∞ (N ) は N の変位全体のつくる無限対称群であるとする.
数列 {an : n ≥ 0} は有理数の全体に番号付けをして並べた数列
であるとする. このとき, R = (−∞, ∞) の各点 x に S∞ の元 σx を
対応させる. このとき, 関数列 {fn (x)}∞
n=0 を
fn (x) = aσx (n) , (x ∈ R, n ≥ 0)
によって定義する. このとき, 各点 x ∈ R において, 関数の値の数
列 {fn (x) : n ≥ 0} は数列 {an } に変位 σx を施した数列 {aσx (n) } に
等しい. したがって, 各点 x ∈ R において,
fn (x) → R, (n → ∞)
が成り立つ. すなわち, 無限多価関数 f (x) が
f (x) = R, (x ∈ R)
によって定義されているとすると, 各点 x ∈ R において,
fn (x) → f (x). (n → ∞)
が成り立つ.
例 9.1.2 において, 各関数 fn (x) は 1 価関数である. それに対し,
極限関数 f (x) は各点 x において集合 R を値にもつ無限多価関数で
ある.
このように, 6.1 節において定義した数列の広義の極限を考えると
き, 1 価関数の列 {fn (x)} の各点収束極限である極限関数が無限多
価関数になることがある.
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9.2 連続写像
本節においては連続写像の概念について考察する.
位相の概念は写像の連続性を特徴付けるための基本概念である.
それ故に, ここでは写像の連続性を位相の公理系に基づいて考察す
る. ここで, 次の定義を与える.
定義 9.2.1 X, Y は二つの位相空間であるとし, f は X から Y
の中への写像であるとする. このとき, f が X から Y の中への連続
写像であるということは, 次の (i)∼(iv) の同値な条件のいずれか一
つが成り立つことであると定義する:
(i) Y の任意の開集合 O に対し, f −1 (O) は X の開集合である.
(ii) Y の任意の閉集合 F に対し, f −1 (F ) は X の閉集合である.
(iii) X の任意の部分集合 A に対し,
f (A) ⊂ f (A)
が成り立つ.
(iv) X の任意の点を a とする. このとき, f (a) ∈ Y の任意の近
傍 V に対し, a のある近傍 U が存在して,
f (U ) ⊂ V
が成り立つ.
f が連続写像であるとき, 略式に f は連続であるということがある.
系 9.2.1 定義 9.2.1 と同じ記号を用いる. このとき, 定義 9.2.1
における四つの条件 (i)∼(iv) は同値である.
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次に, 連続写像を有向点列の収束とフィルターの収束を用いて特
徴付けることを考える.
このとき, 次の定理が成り立つ.
定理 9.2.1 X, Y は二つの位相空間であるとし, f は X から Y
の中への写像であるとする. このとき, 次の (1)∼(4) は同値である.
(1) f : X → Y は連続写像である.
(2) X の任意の収束する有向点列 {xα } に対し, xα → A ならば,
Y において,
f (xα ) → f (A)
が成り立つ.
(3) X の任意の収束するフィルター Φ に対し, Φ → A であると
する. このとき,
f (Φ) = {f (M ) : M ∈ Φ}
であるとすると, f (Φ) はフィルターの基であって,
f (Φ) → f (A)
が成り立つ.
(4) 写像の極限の意味において, A ⊂ X に対し, x → A ならば,
f (x) → f (A)
が成り立つ.
X, Y は二つの位相空間であるとし, f は X から Y の中への写像
であるとする. 特に, f の定義域が D ⊂ X であるときには, D を X
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の部分空間であると考え, 写像 f は D から Y の中への写像であると
考えて, 上と同様に写像 f の連続性について考察することができる.
X, Y は二つの位相空間であるとし, X が T2 空間であるとする.
このとき, f : X → Y が X の 1 点 a において連続であるというこ
とは, 定理 9.2.1 において A = {a} である場合であると考えればよ
い. しかし, 一般に X が T2 空間でない場合には, X の一点 a におい
て写像 f が連続であるということを定義することはできない.
定理 9.2.2 X, Y, Z は三つの位相空間であるとし, 二つの写像
g : X → Y と f : Y → Z は連続であるとする. このとき, 合成写
像 h = f ◦ g : X → Z は連続である.
X と Y は二つの位相空間であるとし, f は X から Y の中への写
像であるとする. Y における開集合全体のつくる集合族を O1 であ
るとする. このとき, f −1 (O1 ) は X において開集合の公理系 (I) を
満たしているから, これによって X の位相を定義できる.
このようにして, Y の位相から導かれる X の位相を Y の位相か
ら写像 f によって誘導された誘導位相であるという.
ここで, 二つの位相空間 X と Y に対し, X から Y への写像 f が
連続写像であるという性質は, X, Y の位相の細粗の性質と深い関係
があることを見てみよう.
二つの位相空間 X と Y に対し, 写像 f : X → Y は上への 1 対 1
写像であって, 連続であるとする. このとき, X と Y の位相の比較
について考察する.
f は上への 1 対 1 写像であるから, X と Y は集合としては対等で
ある. このとき, X と Y の位相の比較を考える.
X における開集合全体のつくる集合族を O であるとし, Y におけ
る開集合全体のつくる集合族を O1 であるとすると, f −1 (O1 ) は X
における開集合族である. したがって,
f −1 (O1 ) ⊂ O
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が成り立つ. f −1 (O1 ) は開集合の公理系 (I) を満たしているから,
X の位相を定義できる. このとき, f −1 (O1 ) によって定義される X
の位相より O によって定義される X の位相の方が細かいことがわ
かる.
X と Y は集合として対等であるから, 1 対 1 上への連続写像 f に
よって集合 X を Y に写像するとき, X の位相は Y の位相より細か
いことがわかる.
ゆえに, 次の定理が成り立つ.
定理 9.2.3 二つの位相空間 X と Y に対し, 写像 f : X → Y は
1 対 1 上への連続写像であるとする. このとき, f によって Y の位
相から誘導される X の位相より, X の位相の方が細かい.
定理 9.2.4 Y は位相空間であるとし, 集合 X から Y の上への
1 対 1 写像を f であるとする. このとき, 写像 f : X → Y が連続で
あるような X の最も粗い位相を定義することと, X と Y が同相と
なるような位相を X に定義することは同値である.
このような考え方に基づいて, 位相空間 X の部分集合 Y を位相空
間にするような Y の自然な位相を定義することについて考察する.
すなわち, Y の位相構造を, X の位相構造から自然に導けるよう
にすることを考える. いま, Y は X の中に自然に埋め込まれている
と考える. すなわち, X の中への Y の埋め込みが恒等写像
fY (x) = x, (x ∈ Y ⊂ X)
によって与えられているとする.
このとき, X の開集合全体のつくる集合族を O とするとき, O ∈ O
に対し, 等式
fY−1 (O) = O ∩ Y = O′ ⊂ Y
が成り立つ. このとき, Y の集合族 fY−1 (O) は, f −1 の性質によって
開集合の公理系 (I) を満たす.
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したがって, fY−1 (O) は Y における開集合族になる. これによって
Y に定義される位相は fY を連続にする Y の位相のうちで最も粗い
ものである. このようにして定義された位相に関して位相空間 Y が
定義される. これは X の部分空間としての Y の位相である.
残りの三つの型の公理系を用いて定義された X の位相から上の
ようにして X の部分空間 Y の自然な位相を同様に定義できる.
X, Y は二つの位相空間であるとし, f : X → Y は X から Y の
中への連続写像であるとする. このとき, f を X の部分空間 S に制
限して考えることにより, f |S : S → Y は S から Y の中への連続
写像になる. したがって, 等式
f |S (x) = f (fS (x)), (x ∈ S)
が成り立つ. このとき, f |S = f ◦ fS は合成写像で, 連続写像と連続
写像の合成写像は連続であるから, f |S は連続写像になる.
X, Y は二つの位相空間であるとし, f : X → Y は X から Y の
中への写像であるとする. このとき, f が同相写像であるというこ
とは, f が 1 対 1 上への写像であって, f と f −1 がともに連続である
ことと定義する. 同相写像 f は位相写像であるということもある.
定理 9.2.5 X, Y は二つの位相空間であるとし, f : X → Y は
X から Y の上への 1 対 1 写像であるとする. このとき, 次の (1)∼(3)
は同値である:
(1) f は同相写像である.
(2) X の任意の開集合 O に対し, f (O) は Y の開集合であり, 逆
に, Y の任意の開集合 O に対し, f −1 (O) は X の開集合である.
(3) X の任意の閉集合 F に対し, f (F ) は Y の閉集合であり, 逆
に, Y の任意の閉集合 F に対し, f −1 (F ) は X の閉集合である.
(4) X の任意の部分集合 M に対し, f (M ) = f (M ) が成り立つ.
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二つの位相空間 X と Y が同相であるということは, X から Y の
上への同相写像 f が存在することであると定義する.
二つの位相空間 X と Y が同相であるということは, X と Y が集
合として対等であって, さらに, X と Y が位相空間として同じ構造
をもっていることを意味する.
例 9.2.1 次の (1), (2) が成り立つ:
(1) R = (−∞, ∞) と (0, ∞) は同相である. 同相写像は y = ex
によって与えられる.
(2) (−1, 1) と R = (−∞, ∞) は同相である. 同相写像は
πx
y = tan
2
によって与えられる.
二つの位相空間 X と Y が同相であるとき, 位相空間の公理から
導かれる位相空間の性質はすべて X と Y において全く同様に成り
立つことを意味する.
9.3 連続写像の基本性質
本節においては, 連続写像の基本性質について考察する.
定理 9.3.1 X と Y は二つの位相空間であるとし, X はコンパ
クトであるとする. f は X から Y の中への連続写像であるとする.
このとき, 像 f (X) は Y においてコンパクトである.
定理 9.3.2 X と Y は二つの位相空間であるとし, f は X から
Y の中への連続写像であるとする. このとき, X の中の任意のコン
パクト集合 K の像 f (K) は Y においてコンパクト集合である.
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したがって, f はコンパクト空間 X から T2 空間 Y の中への連続
写像であるとき, X の中の任意の閉集合 F の像 f (F ) は Y において
閉集合である.
これは, X と Y が上の条件を満たさない一般の位相空間に対して
は成立しない.
さらに, 一般に, 二つの位相空間 X, Y と連続写像 f : X → Y に
対し, X の開集合の像は開集合であるとは限らない.
コンパクト空間 X から T2 空間 Y の中への 1 対 1 連続写像は同相
写像である.
定理 9.3.3 二つの位相空間を X, Y であるとし, 写像 f : X → Y
は X から Y の中への連続写像であるとする. 位相空間 X は連結で
あるとする. このとき, f による X の像 f (X) = {f (x); x ∈ X} も
連結である.
9.4 一様連続写像
本節においては, 一様空間 X から一様空間 Y の中への写像の一
様連続性について考察する. このように, 写像の一様連続性という
性質は一様位相構造によって規定される性質である.
定義 9.4.1 二つの一様空間 X と Y に対し, X から Y の中への
写像 f が一様連続であるということは, Y における任意の一様近傍
V に対して, X におけるある一様近傍 U が存在して, x, y ∈ X が U
位の近さにあるとき, f (x), f (y) ∈ Y が V 位の近さにあることであ
ると定義する.
定理 9.4.1 X, Y は二つの一様空間であるとする. 写像 f : X →
Y が一様連続であるための必要十分条件は, Y における任意の一様
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近傍 V に対し, X におけるある一様近傍 U が存在して, (x, y) ∈ U
ならば, (f (x), f (y)) ∈ V が成り立つことである.
したがって, X, Y が一様空間であるとき写像 f : X → Y が一様
連続であるならば, f は連続写像である.
二つの一様空間 X と Y が一様同相であるということは, 写像 f :
X → Y が 1 対 1 上の写像であって, f と f −1 がともに一様連続で
あることであると定義する.
X は集合であるとし, Y は位相空間であるとする. f は X から Y
の中への写像であるとし, Φ は X 上のフィルターであるとする. 点
A ⊂ Y がフィルター Φ による f の極限であるということは, Y 上
のフィルターの基 f (Φ) から生成されるフィルターが A に収束する
ことであると定義する。
また, 点 y ∈ Y がフィルター Φ による f の触値であるということ
はフィルターの基 f (Φ) から生成されたフィルターの触点であるこ
とと定義する.
定理 9.4.2 X は集合であるとし, Y は完備空間であるとする. f
は X から Y の中への写像であるとし, X 上のフィルターを Φ とす
る. このとき, f が Φ による極限をもつための必要十分条件は, Φ の
f による像 f (Φ) が Y 上のコーシー・フィルターであることである.
証明極限の定義と, 一様空間上の収束するフィルターが任意に
小さい集合を含むことから証明される. //
定理 9.4.2 は極限の存在定理であると考えるときに, 完備空間が本
質的に重要であることを示している. さらに, 写像 f の極限の存在
を, あらかじめその極限が何であるかを知ることなしに証明できる
ということが大切な要点である.
以下に, 完備空間の基本性質について考察する.
定理 9.4.3 次の (1), (2) が成り立つ:
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(1) 完備空間の閉部分空間は完備である.
(2) 必ずしも完備とは限らない分離一様空間の完備部分空間は閉
部分空間である.
定理 9.4.4 一様空間 X 上のコーシー・フィルターの触点はこの
コーシー・フィルターの極限点である. ここで, 極限点は極限集合
の点のことをいう.
定理 9.4.5 一様空間 X 上のコーシー・フィルターより細かい
フィルターはコ−シー・フィルターである.
定理 9.4.6 一様空間 X において点 x0 に収束するフィルターよ
り粗い任意のコーシー・フィルターはまた x0 に収束する.
定理 9.4.7 X は一様空間であるとし, X の部分集合 A は X に
おいて到る所稠密であるとする. このとき, A 上の任意のコーシー・
フィルターの基が X において収束するならば, X は完備空間である.
一般に, 完備一様空間 X の一様連続写像 f による像 f (X) が完備
であるとは限らない.
X と Y は二つの位相空間であるとし, f は X から Y の中への写
像であるとする. このとき, X × X から Y × Y の中への写像 g を,
条件
g{(x, y)} = (f (x), f (y))
によって定義する. このとき, 写像 g は f の拡大であるという.
いま, Y は一様空間であるとし, その一様近傍のフィルターを U
であるとする. このとき, 集合族 g −1 (U ) は X 上の一様近傍系にな
る. このとき, 一様近傍系 g −1 (U) によって定義された X 上の一様
位相は Y 上の一様位相から f によって誘導された誘導一様位相で
あるという.
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定理 9.4.8 X と Y は二つの一様空間であるとし, f は X から
Y の中への一様連続写像であるとする. このとき, X 上のコーシー・
フィルターの基の f による像は Y 上のコーシー・フィルターの基で
ある.
特に, 一様空間 X の一様部分空間を A とし, A から X の中への
一様連続写像 f (x) = x, (x ∈ A) を考える. A 上の任意のコーシー・
フィルターの基を X 上のフィルターの基であると考えたとき, これ
は X 上のコーシー・フィルターの基である.
集合 X から一様空間 Y の中への写像を f であるとし, X 上の一
様位相は Y の一様位相の f による誘導一様位相であるとする. も
し, Y 上のコーシー・フィルターの基の f による原像がフィルター
の基であれば, これは X 上のコーシー・フィルターの基である.
いま, X は一様空間であるとし, X の部分集合 A は空でないとす
る. このとき, X 上のコーシー・フィルターの A への制限が A 上の
フィルターであれば, これは一様部分空間 A 上のコーシー・フィル
ターである.
次に, 分離一様空間または完備空間への写像について考察する.
X と Y は二つの位相空間であるとし, Y は T2 空間であるとする.
f は X から Y の中への連続写像であるとする. いま, M は X の到
る所稠密な部分集合であるとする. このとき, f の X 上の点でとる
像は M 上の点で f のとる像によって決定される. すなわち, 次の定
理が成り立つ.
定理 9.4.9 X と Y は二つの位相空間であるとし, Y は T2 空間
であるとする. f, g は X から Y の中への二つの連続写像であるとす
る. X の到る所稠密な部分集合を M であるとする. このとき, 条件
f (x) = g(x), (x ∈ M )
が成り立つならば, 等式
f (x) = g(x), (x ∈ X)
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が成り立つ.
次に連続写像 g の連続的延長 f について考察する.
定理 9.4.10 X と Y は二つの位相空間であるとし, Y は正則空
間であるとする. M は X の稠密な部分集合であるとする. M か
ら Y の中への連続写像を g であるとする. 任意の x ∈ X に対して,
有向点列 xα ∈ M で, xα → x となるものがとれる. いま, Y 上の
有向点列 {g(xα )} が Y の一つの点 y に収束するとする. このとき,
y = f (x) と定義すれば, f は X から Y の中への連続写像である.
上の定理の連続写像 f は連続写像 g の連続的延長であるという.
定理 9.4.11 X と Y は二つの位相空間であるとし, さらに, Y
は完備な分離一様空間であるとする. X の部分集合 M は X におい
て到る所稠密であるとする. f は M から Y の中への連続写像であ
るとする. X の任意の点 x の近傍のフィルターの M への制限の f
による像が Y 上のコーシー・フィルターの基になっているならば,
f の X 上への連続的延長が存在する.
定理 9.4.12 X は一様空間であるとし, Y は完備な分離一様空
間であるとする. M は X の到る所稠密な部分集合であるとし, f は
M から Y の中への一様連続写像であるとする. このとき, f の X 上
への連続的延長 g が存在し, g は X から Y の中への一様連続写像で
ある.
次に, 全有界という概念について考察する.
完備性とともに, 一様性によって導かれる位相空間の特徴は有界
性である. 有界性とコンパクト性は同じではない. R2 において閉円
板 x2 + y 2 ≤ 1 はコンパクトであり, 有界でもある. しかし, 開円板
x2 + y 2 < 1 は有界ではあるが, コンパクトではない.
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定義 9.4.1 一様空間 X が全有界であるということは, 任意の一
様近傍 V に対し, V 位の近傍の有限個からなる X の被覆が存在す
ることと定義する.
定理 9.4.13 X と Y は一様空間であるとする. さらに, X は全
有界であるとする. このとき, X の部分空間 M から Y への一様連
続写像を f とすると, f (M ) は全有界である.
d ≥ 1 とすると, Rd の完備な部分空間は閉集合である. したがっ
て, Rd の完備かつ全有界な部分空間はコンパクト空間と一致する.
この性質は一般の一様空間においても成り立つ. すなわち, 次の定
理が成り立つ.
定理 9.4.14 一様空間が全有界かつ完備であるための必要十分
条件は, この空間がコンパクト空間であることである.
この定理の証明は難しいから, ここでは考えない. それは, 証明の
ために極大フィルターの概念を必要とするからである.
定理 9.4.15 X はコンパクト T2 空間であるとし, Y は一様空間
であるとする. このとき, X から Y の中への連続写像は一様連続で
ある.
定理 9.4.16 X はコンパクト T2 空間であるとし, Y は完備な分
離一様空間であるとする. M は X の到る所稠密な部分空間である
とする. f は M から Y の中への連続写像であるとする. このとき,
f を X から Y の中への連続写像に延長できるための必要十分条件
は, f が M において一様連続であることである.
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