と表す方法が一通りに決まるとき，この和空間は直和であるといい，W1 ⊕ · · · ⊕ Wk で表す．前回の講義で線形空間を定義し，部分空間の作り方の一つとして「生成」を紹介した．今回は和空間 W = W1 + · · · + Wk が直和であるためには，各 i = 2, . . . , k に対してまず，部分空間の作り方として，共通部分と和空間を紹介し，その後で線形空間の基底について述べる． 4.2.3 (W1 + · · · + Wi−1 ) ∩ Wi = {0} となることが必要十分である．共通部分と和空間 K 上の線形空間 V の部分空間 W1 , W2 があるとき，その共通部分 W1 ∩ W2 は V の (あるい問 4.2.2 これを示せ．は W1 の，W2 の) 部分空間である．問 4.2.1 これを確かめよ．即ち，W1 ∩ W2 は，前回述べた (S0), (S1), (S2) を満たすことを確か 4.3 めよ．基底と座標前回，抽象的な線形空間を定義した．抽象的なままで扱うことにも利点があるが，座標系を導入同じ状況設定の下で，和集合 W1 ∪ W2 は (特別な場合を除き) V の部分空間にならない．そこして具体的な計算を行えるようにしておくと，何かと便利である．また，Rn や C n のように，あで W1 ∪ W2 で生成される部分空間らかじめ標準的な座標系が入っている場合でも，それと異なる新たな座標系を導入する方が，直面している問題を解決する際には便利なことが多い． Span⟨W1 ∪ W2 ⟩ = {x1 + x2 | x1 ∈ W1 , x2 ∈ W2 } では新たに座標系を導入するには，何が必要であろうか? 誰でも思いつくように，を考え，これを W1 と W2 の和空間といい，W1 + W2 で表す．特に W1 + W2 の各元 x に対し， (1) 座標軸の方向 x = x1 + x2 (x1 ∈ W1 , x2 ∈ W2 ) と表す方法が一通りに決まるとき，W1 + W2 は W1 と W2 の直和であるといい，W1 ⊕ W2 で表す． (2) 一目盛りを指定すればよいが，線形空間の場合には，ベクトルの組を用いて指定すればよい．この「座標系を導入するのにちょうど良いベクトルの組」が，これから述べる「基底」である．命題 4.2.3 線形空間 V の二つの部分空間 W1 , W2 があるとき，和空間 W1 + W2 が直和であるた基底の定義に移る前に，線形空間に一つ制約を課しておく．めには，W1 ∩ W2 = {0} となることが必要十分である．一般の線形空間を考えると，座標軸が無限本必要な場合も出てくる．この講義ではそのような場合は排除し，有限本で収まるような線形空間のみを考えることにする．もっと正確に述べると以下例 4.2.4 (1) V = R3 とし，u1 , u2 を方向ベクトルする 2 直線のようになる: を考える．ただし，u1 , u2 は平行でないとする．以下の講義では特に断らない限り，線形空間 V として，有限個の元で生成されるもの，即ち a1 , . . . , am ∈ V をうまく取れば，V = Span⟨a1 , . . . , am ⟩ と表されるもののみ扱う．このとき V は有限次元であるといい，有限次元でないとき，V は無限次元であるという．このとき W1 ∩ W2 = {0} であり，和空間は命題 4.3.1 V が有限次元線形空間であるとき，V のどの部分空間も有限次元である． Wi := {tui | t ∈ R}, (i = 1, 2) W1 + W2 = {t1 u1 + t2 u2 | t1 , t2 ∈ R} この命題の主張は当たり前に感じるが，きちんと証明するのは結構面倒なので，ここでは証明抜きで認めて，先に進むことにする．(時間があれば証明します．) であるが，これはこの 2 直線を含む平面に他ならない．なお，2 直線の共通部分が {0} なので，この和空間は直和である．さて，座標軸の指定の話に戻ろう．座標軸の方向と一目盛りは，ベクトルの組を以て指定すれば (2) V = R3 とし，W1 , W2 を，原点を通る相異なる 2 平面とする．このとき W1 ∩ W2 は 2 平面の交線であり，W1 + W2 は V = R3 全体である．共通部分が {0} ではないので，この和空間は直和でない．よいと述べた．ここで平面や空間の座標系について真面目に再考すれば，必要十分な本数の座標軸を指定するには，ベクトルの組に (1) 線形独立 3 個以上の (有限個の) 部分空間 W1 , . . . , Wk に対しても，共通部分 W1 ∩ · · · ∩ Wk , 和空間 W1 + · · · + Wk を同様に定める．また，x ∈ W1 + · · · + Wk に対し， x = x1 + · · · + xk , (2) V を生成という条件を課せばよいことがわかる（ここの部分の説明は，図を描くとやりやすいので，プリントには書かず，板書で説明します)．「線形独立」という概念は，前期第 8 回で数ベクトルに対して x1 ∈ W1 , x2 ∈ W2 , . . . , xk ∈ Wk 定義したが，その定義はそのまま抽象的な線形空間に対しても適用できるので，再定義しておこう． 26 V を K 上の線形空間とする．ベクトルの組 a1 , . . . , am ∈ V があるとする．このとき，(4.3) を ( (1) k1 a1 + · · · + km am x = a1 (k1 , . . . , km ∈ K) という形のベクトルを，a1 , . . . , am の線形結合という． ...   k )  1 .  an  ..   kn (4.4) と書き，(k1 , . . . , kn ) (またはこれを転置した縦ベクトル) を基底 a1 , . . . , an に関する x の座標と (2) いう 1 ． k1 a1 + · · · + km am = 0 ( ) ( ) a b ※ 例えば V = R で a1 = , a2 = のとき， c d (4.1) 2 という関係を，a1 , . . . , am の線形関係という． ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( a b k1 a + k2 b a b k1 k1 a1 + k2 a2 = k1 + k2 = = = a1 c d k1 c + k2 d c d k2 特に，(k1 , . . . , km ) = (0, . . . , 0) のとき，自明な線形関係という． (3) 命題 k1 a1 + · · · + km am = 0 ⇒ (k1 , . . . , km ) = (0, . . . , 0) (4.2) ( ) ) k 1 a2 k2 である．(4.4) は，この書き方を抽象的なベクトルに対しても適用したものである．が成り立つとき，a1 , . . . , am は線形独立であるといい，そうでないとき a1 , . . . , am は線形従属であるという．例 4.3.4 (1) V = K n のとき，基本ベクトル全体の組 (4) b = k1 a1 + · · · + km am と表されるとき，b は a1 , . . . , an に線形従属であるという．   1   0  e1 =   ..  , . ※ この一連の用語で，「線形」という言葉を「一次」という言葉で置き換えて，「一次関係」「一次独立」などと言うことも多い． ※ この定義の (3) を別の言い方で述べると， 0 「(4.1) を満たす (k1 , . . . , km ) が (0, . . . , 0) しかないとき a1 , . . . , am は線形独立」「(4.1) を満たすような (k1 , . . . , km ) ̸= (0, . . . , 0) があるとき a1 , . . . , am は線形従属」   0   1  e2 =   ..  , . ...,   0   0  en =   ..  . 0 は V の基底である．これを K n の標準基底という．となる． (2) K 係数の n 次以下の多項式全体の集合 Pn (K) (前回の例) の基底として，例えば 1, x, x2 , . . . , xn を取ることができる．命題 4.3.2 a1 , . . . , am が線形従属なら，これらのうちの少なくとも一つのベクトルは，他のベク (3) R2 や R3 の原点を通る直線 x = tu (t ∈ R) (ただし u ̸= 0) の基底として，u を採用できる．トルに線形従属である．即ち，係数を適切に選べば， ai = k1 a1 + · · · + ki−1 ai−1 + ki+1 ai+1 + · · · + km am (4) R3 の原点を通る平面 x = su + tv (s, t ∈ R) (ただし u と v は平行でない) の基底として， u, v を採用できる．と表すことができる．これで用語が揃った．座標系をうまく定めるようなベクトルの組は，以下のようなものである：有限次元線形空間 V のベクトルの (順序づけられた) 組 a1 , . . . , an が次の 2 条件を満たすとき， a1 , . . . , an は V の基底であるという: (B1) a1 , . . . , an は線形独立である (B2) a1 , . . . , an は V を生成する，即ち V = Span⟨a1 , . . . , an ⟩ 命題 4.3.3 線形空間 V のベクトルの組 a1 , . . . , an が V の基底であるためには，どの x ∈ V も x = k1 a 1 + · · · + kn a n , 1 k1 , . . . , kn ∈ K (4.3) と表され，この表示法が x に対してただ一通りに定まることが，必要十分である． 1 この言い方はあまり一般的でないかもしれないが，便利なのでこの講義では使うことにする． 27