数学演習 B（線形代数分野） No.10 (2014 年度 AB) 10-5. 次の線形空間の基底を求めよ．注意事項 (1) R2 内の直線 3x + 4y = 0. ・毎回の課題に対する時間内提出物によって評価する．出席を重視するが，出席だけでは合格と (2) R3 内の直線 2x = −6y = 3z. (3) R3 内の平面 3x + 4y = 0. ならない．・演習時間内は問題を考え，解くことに専念すること．関係のない授業のレポートの作成，携帯電話の操作などがあった場合，その回は欠席したものと見なす．・不正行為は行わないように．1 回目で不合格とする．・演習の時間には，線形代数 IB の講義ノート・プリント類を必ず持参すること．持っていない 2 3 10-6. 次のベクトルの組が各々   R , R の基底であることを確認し, この基底に関する，一般のベ ( ) x x   クトル (つまり or y ) の座標を求めよ. (ヒント:まず一般の点を与えられたベクトルの線 y z 形結合で表すことを試みよ．その上でプリント p37 命題 6.2.2 を使うとよい．) 者の質問には答えない場合もある． (1) 10-1. 次の関係式で与えられる R3 の部分集合は R3 の部分空間であるか? 部分空間であるなら，定義の条件が満たされることを確かめ，部分空間でないなら具体的な反例を挙げよ．ただし R3 を xyz-空間と見なす. (2)     1 2       −1 , 0 , 1 1 2 6 1  10-7. 変数 t に関する未知関数 x(t) と x(t) の有限階の導関数たちの間に与えられた関数関係を x(t) に関する微分方程式といい，未知関数 x(t) が求まれば，その解であるという．a(t), b(t) を t に関する関数としたとき，微分方程式 (1) x + 2y + 3z − 4 = 0 2 (2) x + 2y + 3z = 0 (3) z = x + y 2 d2 x dx + a(t) + b(t)x = 0 2 dt dt 10-2. R3 の以下の部分空間を (座標 xyz に関する) 方程式で表せ．  (1)  ( ) ( ) 1 1 , 1 2 1     Span⟨−3⟩ 1   2      (2) Span⟨ 1  , −1⟩ −1 2 2 10-3. 次のベクトルの組が線形独立であるか線形従属であるかに答えよ. 線形従属である場合には自明でない線形関係を挙げること. (2) は場合分けが必要.               1 1 2 0         1 −1 1 −1 1  2  2               (1)   ,   ,   ,   (2)  1  ,  0  ,  a  −2 3  1  1 −7 3 a2 1 0 −1 2 10-4. R3 , R4 の以下の部分空間の基底と次元を求めよ．       1 −2 1       (1) Span⟨2 ,  3  , 0⟩ 3 1 1 (2)         2 4 −1 3         1 −5  3   5         Span⟨ 1 ,  1  ,  0  ,  2 ⟩         3 −7 5 11 の解空間は，部分空間の条件を満たすことを確かめよ． No.10 問題略解 9-1. (1) adf i−begh−cdf h (2) 35 (3) 111 9-2. (1) 3abc−a2 −b2 −c2 (2) (a−b)(b−c)(c−a) (3) (a−b)(a−c)(a−d)(b−c)(b−d)(c−d) (4) λ5 +a1 λ4 +a2 λ3 +a3 λ2 +a4 λ+a5 9-3. (1) x = 5/2, y = −27/8, z = −17/8 (2) x = (d − b)(c − d)/(a − b)(c − a), y = (a − d)(d − c)/(a − b)(b − c), z = (b − d)(d − a)/(b − c)(c − a) 9-4. 行列式は (1) −9, (2) 1. 余因子行列と逆行列は検算すれば正誤がわかるので略． 9-5. 略．積の行列式は行列式の積であることを使え． 9-6. 略. 交点が満たす連立 1 次方程式の拡大係数行列は逆行列を持たない． 9-7. 行列式の性質 (D7) を使う ( ) ( ) A B A+B O と，det = det という形に変形できる． 9-8. 問題 8-8. と同様の B A B A−B 公式が 2 次の場合にも成り立つ．そこに fi′′ の式を代入し，行列式の性質を使うと良い．