計量経済学:復習テスト 20 学籍番号 氏名 2014 年 12 月 17 日 注意:すべての質問に解答しなければ提出とは認めない.小さな声でなら 相談しても構わない.教科書・ ノートを参照してもよい.授業時間内に提出できない場合は 当日中に 事務室前の「提出用ボックス」に提出 すること. 1. (y, X) を長さ T の (1 + k) 変量時系列とする.ただし X は定数項を含む.y の X 上への AR(1) の 系列相関をもつ正規線形回帰モデルは y = Xβ + u u|X ∼ N(0, Σ) Σ= σ2 1 − ϕ2 1 ϕ .. . ϕT −1 ϕ 1 .. . ϕT −2 . . . ϕT −1 . . . ϕT −2 .. .. . . ... 1 次の片側検定問題を考える. H0 : ϕ = 0 vs H1 : ϕ > 0 (a)次式を示しなさい. ( ) E (ut − ut−1 )2 |X = 2 − 2ϕ E(u2t |X) (b)Durbin–Watson 検定統計量を与えなさい. (c)T = 20,k = 5 とする.有意水準 5 %の検定の棄却域を Durbin–Watson 検定統計量の分布表から 求めなさい. 1 2. {yt } を次のような AR(1) とする. yt = ϕyt−1 + wt ( ) {wt } ∼ WN σ 2 ただし |ϕ| < 1. (a)次の OLS 問題を解きなさい. min ϕ T ∑ (yt − ϕyt−1 )2 t=2 and ϕ ∈ (−1, 1) (b)ϕ の OLS 推定量は次式で与えられる. ∑T yt−1 yt ϕˆ = ∑t=2 T 2 t=2 yt−1 分母・分子に大数の法則を適用して cov(yt−1 , yt ) plim ϕˆ = var(yt−1 ) T →∞ となることを示しなさい. (c)上式の右辺が ϕ と等しいことを示しなさい. 2 解答例 1.(a) ( ) ( ) E (ut − ut−1 )2 |X = E u2t − 2ut ut−1 + u2t−1 |X ( ) = 2 E u2t |X − 2 E(ut ut−1 |X) したがって ( ) E (ut − ut−1 )2 |X E(ut ut−1 |X) =2−2 2 E(ut |X) E(u2t |X) cov(ut , ut−1 |X) =2−2 var(ut |X) ( ) ϕσ 2 / 1 − ϕ2 =2−2 2 σ /(1 − ϕ2 ) = 2 − 2ϕ (b) ∑T t=2 (et − et−1 ) ∑T 2 t=1 et d := 2 (c)[0, 0.894). 2.(a) T T ∑ ∑ ( 2 ) 2 (yt − ϕyt−1 )2 = yt − 2ϕyt−1 yt + ϕ2 yt−1 t=2 t=2 = T ∑ yt2 − 2ϕ t=2 T ∑ yt−1 yt + ϕ2 t=2 T ∑ t=2 したがって OLS 問題は min ϕ and T ∑ yt2 − 2ϕ t=2 yt−1 yt + ϕ t=2 2 T ∑ t=2 ϕ ∈ (−1, 1) 1 階の条件は −2 T ∑ yt−1 yt + 2ϕ∗ t=2 解は T ∑ T ∑ 2 yt−1 =0 t=2 ∑T yt−1 yt ϕ∗ = ∑t=2 T 2 t=2 yt−1 3 2 yt−1 2 yt−1 (b) ∑T yt−1 yt plim ϕˆ = plim ∑t=2 T 2 T →∞ T →∞ t=2 yt−1 ∑T [1/(T − 1)] t=2 yt−1 yt = plim ∑T 2 T →∞ [1/(T − 1)] t=2 yt−1 ∑T plimT →∞ [1/(T − 1)] t=2 yt−1 yt = ∑T 2 plimT →∞ [1/(T − 1)] t=2 yt−1 E(yt−1 yt ) ( 2 ) = E yt−1 = cov(yt−1 , yt ) var(yt−1 ) ( c) cov(yt−1 , yt ) = cov(yt−1 , ϕyt−1 + wt ) = ϕ cov(yt−1 , yt−1 ) + cov(yt−1 , wt ) = ϕ var(yt−1 ) したがって cov(yt−1 , yt ) =ϕ var(yt−1 ) 4
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