計量経済学：復習テスト 20

計量経済学：復習テスト 20
学籍番号
氏名
2014 年 12 月 17 日
注意：すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．小さな声でなら相談しても構わない．教科書・
ノートを参照してもよい．授業時間内に提出できない場合は当日中に事務室前の「提出用ボックス」に提出
すること．
1. (y, X) を長さ T の (1 + k) 変量時系列とする．ただし X は定数項を含む．y の X 上への AR(1) の
系列相関をもつ正規線形回帰モデルは
y = Xβ + u
u|X ∼ N(0, Σ)

Σ=
σ2
1 − ϕ2




1
ϕ
..
.
ϕT −1
ϕ
1
..
.
ϕT −2

. . . ϕT −1
. . . ϕT −2 

.. 
..
.
. 
...
1
次の片側検定問題を考える．
H0 : ϕ = 0 vs H1 : ϕ > 0
（a）次式を示しなさい．
(
)
E (ut − ut−1 )2 |X
= 2 − 2ϕ
E(u2t |X)
（b）Durbin–Watson 検定統計量を与えなさい．
（c）T = 20，k = 5 とする．有意水準 5 ％の検定の棄却域を Durbin–Watson 検定統計量の分布表から
求めなさい．
1
2. {yt } を次のような AR(1) とする．
yt = ϕyt−1 + wt
( )
{wt } ∼ WN σ 2
ただし |ϕ| < 1.
（a）次の OLS 問題を解きなさい．
min
ϕ
T
∑
(yt − ϕyt−1 )2
t=2
and ϕ ∈ (−1, 1)
（b）ϕ の OLS 推定量は次式で与えられる．
∑T
yt−1 yt
ϕˆ = ∑t=2
T
2
t=2 yt−1
分母・分子に大数の法則を適用して
cov(yt−1 , yt )
plim ϕˆ =
var(yt−1 )
T →∞
となることを示しなさい．
（c）上式の右辺が ϕ と等しいことを示しなさい．
2
解答例
1.（a）
(
)
(
)
E (ut − ut−1 )2 |X = E u2t − 2ut ut−1 + u2t−1 |X
(
)
= 2 E u2t |X − 2 E(ut ut−1 |X)
したがって
(
)
E (ut − ut−1 )2 |X
E(ut ut−1 |X)
=2−2
2
E(ut |X)
E(u2t |X)
cov(ut , ut−1 |X)
=2−2
var(ut |X)
(
)
ϕσ 2 / 1 − ϕ2
=2−2 2
σ /(1 − ϕ2 )
= 2 − 2ϕ
（b）
∑T
t=2 (et − et−1 )
∑T
2
t=1 et
d :=
2
（c）[0, 0.894).
2.（a）
T
T
∑
∑
( 2
)
2
(yt − ϕyt−1 )2 =
yt − 2ϕyt−1 yt + ϕ2 yt−1
t=2
t=2
=
T
∑
yt2 − 2ϕ
t=2
T
∑
yt−1 yt + ϕ2
t=2
T
∑
t=2
したがって OLS 問題は
min
ϕ
and
T
∑
yt2
− 2ϕ
t=2
yt−1 yt + ϕ
t=2
2
T
∑
t=2
ϕ ∈ (−1, 1)
1 階の条件は
−2
T
∑
yt−1 yt + 2ϕ∗
t=2
解は
T
∑
T
∑
2
yt−1
=0
t=2
∑T
yt−1 yt
ϕ∗ = ∑t=2
T
2
t=2 yt−1
3
2
yt−1
2
yt−1
（b）
∑T
yt−1 yt
plim ϕˆ = plim ∑t=2
T
2
T →∞
T →∞
t=2 yt−1
∑T
[1/(T − 1)] t=2 yt−1 yt
= plim
∑T
2
T →∞ [1/(T − 1)]
t=2 yt−1
∑T
plimT →∞ [1/(T − 1)] t=2 yt−1 yt
=
∑T
2
plimT →∞ [1/(T − 1)] t=2 yt−1
E(yt−1 yt )
( 2 )
=
E yt−1
=
cov(yt−1 , yt )
var(yt−1 )
（ c）
cov(yt−1 , yt ) = cov(yt−1 , ϕyt−1 + wt )
= ϕ cov(yt−1 , yt−1 ) + cov(yt−1 , wt )
= ϕ var(yt−1 )
したがって
cov(yt−1 , yt )
=ϕ
var(yt−1 )
4

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