計量経済学：復習テスト 6

計量経済学：復習テスト 6
学籍番号
氏名
2014 年 5 月 21 日
注意：すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．小さな声でなら相談しても構わない．教科書・
ノートを参照してもよい．授業時間内に提出できない場合は当日中に事務室前の「提出用ボックス」に提出
すること．
1. yi の xi 上への単回帰モデルは
yi = α + βxi + ui
E(ui |xi ) = 0
以下の式を証明しなさい．
（a）
E(ui ) = 0
E(xi ui ) = 0
ヒント：繰り返し期待値の法則を使う．
（b）
cov(xi , ui ) = 0
（c）
var(yi ) = β 2 var(xi ) + var(ui )
1
2. 次の OLS 問題を考える．
min
a,b
n
∑
(yi − a − bxi )2
i=1
and a, b ∈ R
OLS 問題の解を (a∗ , b∗ )，残差を ei := yi − a∗ − b∗ xi とする．また ((y1 , x1 ), . . . , (yn , xn )) の標本平
均を (¯
y, x
¯) とする．以下の式を証明しなさい．
（a）
n
∑
ei = 0
i=1
n
∑
xi ei = 0
i=1
（b）
n
∑
(xi − x
¯)ei = 0
i=1
（c）
n
n
n
∑
∑
∑
(yi − y¯)2 = b∗ 2
(xi − x
¯ )2 +
e2i
i=1
i=1
2
i=1
解答例
1.（a）
E(ui ) = E(E(ui |xi ))
=0
E(xi ui ) = E(E(xi ui |xi ))
= E(xi E(ui |xi ))
=0
（b）
E(ui ) = E(E(ui |xi ))
=0
したがって
cov(xi , ui ) = E(xi ui ) − E(xi ) E(ui )
=0
（c）
var(yi ) = var(α + βxi + ui )
= var(βxi + ui )
= var(βxi ) + 2 cov(βxi , ui ) + var(ui )
= β 2 var(xi ) + 2β cov(xi , ui ) + var(ui )
第 2 項は 0．
2.（a）1 階の条件より
n
∑
(yi − a∗ − b∗ xi ) = 0
i=1
n
∑
xi (yi − a∗ − b∗ xi ) = 0
i=1
すなわち
n
∑
ei = 0
i=1
n
∑
xi ei = 0
i=1
（b）
n
n
n
∑
∑
∑
(xi − x
¯)ei =
x i ei − x
¯
ei
i=1
i=1
=0
3
i=1
（c）yi = a∗ + b∗ xi + ei より
1∑
yi
n i=1
n
y¯ :=
1∑ ∗
(a + b∗ xi + ei )
n i=1
n
=
= a∗ + b∗ x
¯
したがって
n
n
∑
∑
(yi − y¯)2 =
[b∗ (xi − x
¯ ) + ei ] 2
i=1
i=1
n [
]
∑
=
b∗ 2 (xi − x
¯)2 + 2b∗ (xi − x
¯)ei + e2i
i=1
= b∗ 2
n
n
n
∑
∑
∑
(xi − x
¯)2 + 2b∗
(xi − x
¯)ei +
e2i
i=1
i=1
第 2 項は 0．
4
i=1

Download Report