(1) cov(X, X) = E( X 2 ) – μX 2 (共分散の性質(1)より)

離散型確率変数
宿題解答
1. μX = E(X)とする。
(1) cov(X, X) = E( X 2 ) – μX2 (共分散の性質(1)より)
= var(X) (分散の性質(1)より)
(2) cov(X + Y, Z) = E[(X +Y ) Z] – E(X + Y)E(Z) (共分散の性質(1)より)
= E(XZ +YZ) – [E(X) + E(Y )]E(Z) (平均の性質(4)より)
= E(XZ) + E(YZ) – E(X)E(Z) – E(Y)E(Z)
= E(XZ) –E(X)E(Z) + E(YZ) –E(Y)E(Z)
= cov(X, Z) + cov(Y, Z) (共分散の性質(1)より)
2. 問題 1 の(1)と(2)の性質を適用することによって
var(X1+X2+ ... + Xm)
= cov ( X1 + X2+ ... + Xm, X1 + X2 + ... + Xm )
= cov ( X1, X1 + X2 + ... + Xm) + cov ( X2, X1 + X2 + ... + Xm) + .... + cov ( Xm, X1 + X2 +... + Xm)
= cov (X1, X1) + cov(X1, X2) + cov (X1, X3) + ... + cov(X1, Xm)
+ cov (X2, X1) + cov (X2, X2) + ... + cov (Xm, Xm)
= cov (X1, X1) + cov(X2, X2) + cov (X3, X3) + ... + cov(Xm, Xm)
( 仮定より Xi と Xj (i ≠ j) は独立、よって共分散の性質(2)より cov (Xi, Xj) = 0 (i ≠ j) )
= var(X1) + var(X2) + ... + var(Xm)
3 二項確率変数 Y は n 個の独立なベルヌーイ確率変数 Xi (i =1,...,n) の和であるので
E(Y) = E(X1 +X2 + ... +Xn) = p + p + ... + p = np
となる。また、問題 2 より n 個の独立な確率変数の和の分散は n 個の分散の和となるので
var(Y) = var (X1 +X2 + ... +Xn) = p(1– p) + p(1– p) + ... + p(1– p)
= np (1 – p)
となる。
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