第 7 回系列相関（4.2）

第 7 回系列相関（4.2）
村澤康友
2015 年 5 月 22 日
目次
1
時系列データ（p. 73）
1
2
古典的線形回帰モデル（p. 45）
2
3
系列相関（p. 72）
2
4
標準誤差の修正
2
5
系列相関の検定（p. 73）
3
6
コクラン＝オーカット法（p. 74）
3
7
今日の課題
4
1 時系列データ（p. 73）
{yt } を時系列データとする．
定義 1. （1 次の）自己回帰過程は
yt = ϕyt−1 + wt
E(wt ) = 0
var(wt ) = σ 2
cov(wt , wt−1 ) = cov(wt , wt−2 ) = · · · = 0
ただし |ϕ| < 1．
注 1. gretl で自己回帰過程を生成する手順は以下の通り．
1. y, w を正規乱数として作成．
2. 例えば ϕ := 0.5 なら y = 0.5 ∗ y(−1) + w として y を作り直す．
メニューから「表示」→「変数のグラフ」→「時系列プロット」で時系列データを確認できる．
1
練習 1. 観測数 50 の時系列データセットを作成し，ϕ := 0.9 と ϕ := −0.9 の自己回帰過程を生成して，両者
の時系列プロットを比較しなさい（p. 73，図 4-7）．
2 古典的線形回帰モデル（p. 45）
xt を説明変数，yt を被説明変数，ut を誤差とする．
定義 2. 古典的線形回帰モデルは
yt = α + βxt + ut
E(ut ) = 0
var(ut ) = σ 2
cov(ut , ut−1 ) = cov(ut , ut−2 ) = · · · = 0
注 2. すなわち誤差は均一分散をもち，互いの共分散は 0．
定理 1 (ガウス＝マルコフ定理). 古典的線形回帰モデルの回帰係数の OLS 推定量は最良線形不偏推定量
（Best Linear Unbiased Estimator, BLUE）．
3 系列相関（p. 72）
定義 3. 系列相関をもつ線形回帰モデルは
yt = α + βxt + ut
E(ut ) = 0
var(ut ) = σ 2
cov(ut , ut−1 ) ̸= 0
注 3. {ut } が 1 次の自己回帰過程なら
ut = ϕut−1 + wt
E(wt ) = 0
var(wt ) = σ 2
cov(wt , wt−1 ) = cov(wt , wt−2 ) = · · · = 0
ϕ > 0 なら正，ϕ < 0 なら負の系列相関．
注 4. 系列相関の問題点
1. OLS の標準誤差・t 値の修正が必要．
2. OLS は BLUE ではない．
4 標準誤差の修正
系列相関が懸念される場合は，以下の手順で OLS を実行する．
2
1. メニューから「モデル」→「最小二乗法」を選択．
2.「従属変数」を 1 つ選択．
3.「説明変数（回帰変数）」を選択．
4.「頑健標準誤差を使用する」をチェック．
5.「OK」をクリック．
系列相関がなくても頑健標準誤差は正しいので，こちらを使う方が安全．
練習 2. c42.gdt は日本の国民経済計算の時系列データであり，以下の 2 つの変数をもつ．
1. CONS（実質民間最終消費支出）
2. GDP（実質 GDP）
log(CONS) と log(GDP) の時系列プロットと散布図を描きなさい．
練習 3. c42.gdt のデータを用いて通常の回帰分析を行いなさい（p. 76，図 4-8）．
練習 4. c42.gdt のデータを用いて標準誤差を修正した回帰分析を行いなさい．
5 系列相関の検定（p. 73）
次の検定問題を考える．
H0 : 系列相関なし vs H1 : 系列相関あり
ダービン＝ワトソン（DW）検定統計量は OLS で自動的に出力される（DW=2 なら系列相関なし，0 に近い
ほど正の系列相関）
．OLS を実行した画面のメニューから「検定」→「ダービン＝ワトソン p 値」で p 値も確
認できる．また以下の手順で Breusch–Godfrey の検定も実行できる．
1. OLS を実行した画面のメニューから「検定」→「自己相関」を選択．
2.「検定するラグ次数」を選択（通常は 1 でよい）．
p 値が有意水準（通常は 0.05）以下なら H0 を棄却．
練習 5. c42.gdt のデータを用いて DW 検定を行いなさい．
練習 6. c42.gdt のデータを用いて Breusch–Godfrey の検定を行いなさい．
6 コクラン＝オーカット法（p. 74）
1 次の系列相関をもつ線形回帰モデルは
yt = α + βxt + ut
ut = ϕut−1 + wt
第 1 式の両辺に ϕ を掛けて t を 1 期前にずらすと
ϕyt−1 = ϕα + ϕβxt−1 + ϕut−1
3
これを第 1 式の両辺から引くと
yt − ϕyt−1 = α − ϕα + βxt − ϕβxt−1 + ut − ϕut−1
= (1 − ϕ)α + β(xt − ϕxt−1 ) + wt
これは系列相関のない線形回帰モデル．
定義 4. コクラン＝オーカット法の手順は以下の通り．
1. (α, β) の OLS 推定値 (a, b) を計算．
2. ût := yt − a − bxt を用いて ϕ の OLS 推定値 ϕ̂ を計算．
3. yt − ϕ̂yt−1 と xt − ϕ̂xt−1 で OLS．
注 5. ϕ と (α, β) の推定を反復する方法もある．ただし計算が収束するとは限らない．
注 6. gretl では以下の手順でコクラン＝オーカット法を実行できる．
1. メニューから「モデル」→「時系列」→「AR(1)」を選択．
2.「従属変数」を 1 つ選択．
3.「説明変数（回帰変数）」を選択．
4.「コクラン＝オーカット法」をチェック．
5.「OK」をクリック．
データが 1 つ減るのでコクラン＝オーカット法は非効率．プレス＝ウィンステン法の方がよい．
練習 7. c42.gdt のデータを用いてコクラン＝オーカット法で回帰分析を行いなさい（p. 76，図 4-9）．またプ
レス＝ウィンステン法も試みなさい．
7 今日の課題
練習 1–7 の実行結果をワードに貼り付けて My Konan で提出しなさい．
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