確率論の基礎「ロジスティクス工学」第3章鞭効果第4章確率的在庫モデル補助資料東京商船大学久保幹雄標本空間，事象，確率 • 標本空間（sample space)：何か試行（ランダムさを加味した実験）をしたときの結果の集まり．たとえば，コインを投げたときの{表，裏}，サイコロを１回振ったときの出る目の数{1,2,…,6} ． • 事象（event)：標本空間の部分集合．たとえば，サイコロを投げたときに偶数の目がでる事象は {2,4,6} となる． • 確率（probability)：事象の起きやすさを表す0以上1以下の値をとる関数．P{A}が事象Aが起きる確率．P{標本空間}=1，共通部分をもたない事象 A,Bの和の起きる確率=P{A}+P{B}を満たす．確率変数，期待値，分散，標準偏差 • 確率変数（random variable)：標本空間の各点に対して定まる実数値関数．たとえば，コインを投げたときに表が出れば100円，裏が出れば50円もらえるときの金額．サイコロを振ったときの目の値． • PX(x)=P{X=x}：確率変数Xが実数値xをとる確率 • 期待値（expected value）： E[ X ]   xpX ( x) x • 分散（variance)： Var[ X ]  E[(X  E[ X ])2 ]   ( x  E[ X ])2 p X ( x) • 標準偏差（standard deviation)： x  X  Var[X ] 期待値，分散の計算 • W,V=aW+b が確率変数，a,b が定数のとき E[V]=E[aW+b]=aE[W]+b E[V ]  E[(aW  b) ]  a E[W ]  2ab E[W ]  b 2 2 2 2 Var[ X ]  E[(X  E[ X ])2 ]   ( x  E[ X ])2 p X ( x) x   ( x 2  2 E[ X ]x  E[ X ]2 ) p X ( x) x  E[ X 2 ]  E[ X ]2 Var[V ]　 a 2 E[W 2 ]  2ab E[W ]  b 2  a 2 E[W ]2  2ab E[W ]  b 2 よって  a  2 V 2 2 w 2 共分散 • PX,Y(x,y)=P{X=x,Y=y}：同じ標本空間で定義された確率変数X,Yがそれぞれ実数値x,yをとる確率 • 共分散(covariance)： Cov[X , Y ]  E[(X  E[ X ])(Y  E[Y ])]   ( x  E[ X ])(y  E[Y ]) p X ,Y ( x, y) x  E[ XY ]  E[ X ] E[Y ] Ｘ，Ｙ，S=X+Yが確率変数のとき Var[ S ]  Var[ X ]  Var[Y ]  2 Cov[X , Y ] 平均と分散の推定 • 独立な観測値 X1,X2,・・・,Xn • 平均の推定値＝（X1＋X2＋・・・＋Xn ）/n  X n 分散の推定値  i 1  平均の推定値 2 i なぜ n でなく n-1 で割るのか？ n 1 その理由（期待値をとる） 2 n  X1  X 2    X n   E   X i    n    i 1  E[分散の推定値]  n 1 n 2 E   X i   1 i 1      E X j X k  n 1 n j k    nE X 2 1 2 2   nE[ X ]  n( n  1) E X  n 1 n( n  1)  E [ X ]  E X  2 2  確率過程 • 確率過程：時刻の集合 T に対して定められた確率変数 Xt の集合 • 株価の推移，為替相場の推移，需要の変化などを表すための数学モデル • 例：前期との相関(共分散を標準偏差で割ったもの）ρをもつ需要過程 Dt  d  Dt 1   t 平均 0, 標準偏差σの独立な分布期待値 E，分散 Var 鞭効果の解析的モデルにおける需要過程 Dt  d  Dt 1  t　t  　のとき　 tは平均0，標準偏差 　E[ D]  d   E[D]　d E[D ]  1  2  t  　のとき　Var[ D]   Var[ D]   Var[ D]  1 2 2 2 共分散 Cov DtとDt-1 の共分散 Dt  Dt 1  d  t　より Var[ Dt ]  2 Cov[Dt , Dt 1 ]   2 Var[ Dt 1 ]   2 分散を代入して変形 DtとDt-2 の共分散  2 Cov(Dt , Dt 1 )  1 2 Var[Dt ]  2 2 Cov[Dt , Dt 2 ]   4 Var[Dt 2 ]  (1   )2 2　 2 2 分散を代入して変形 Cov(Dt , Dt 2 )  1 2 以下同様の計算によって，一般式  p 2 Cov(Dt , Dt  p )  1 2 正規分布 • 平均μ，標準偏差σの正規分布 N(μ,σ２) の確率密度関数（連続な確率変数Xが[x,x+dx]の間の値をとる確率）は， 2  1 (x  )  f X ( x)  exp  2 2  2   • Gauss（ガウス）分布ともよぶ．どんな（有限分散の独立な）分布でも，たくさん足すと（中心極限定理より），近似的に正規分布として扱える．累積分布関数 • 平均μ，標準偏差σの正規分布 N(μ,σ２) の累積分布関数（連続な確率変数Xが[-∞,x]の間の値をとる確率）は， x FX ( x)   f X ( y)dy  Excelによる表現 • FX(x) =NORMDIST(x,μ,σ,TRUE) TRUEは1 • fX(x) =NORMDIST(x,μ,σ,FALSE) FALSEは0 • F-1(p)=NORMINV(p, μ,σ) 累積分布関数の逆関数 -> 平均μ,σの正規分布が確率pでx以下になるxの値