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表紙
レプリカ法と線型計画法に見る
無限小と無限大
奈良女子大学理学部
角田秀一郎
計画法
線型計画法の作成する点列を使ったカオスの構成
(佐伯祐子との共同研究)
単体法における退化現象の回避---1.背理法:矛盾に持ち込む方法
2.無限小を使うやり方
一方,境界を探索していく単体法に対して,
80年代中頃から内点法が脚光を浴び,双対内点法と進化して
いく(ホットな分野)
単体法と双対内点法を
ミックスさせる
最適解
問題
原型:単体法の退化現象と無限小による回避
線型計画問題
+
ベクトル
行列
双対
双対内点法の統一的扱い
記号
…
…
解の改善
実行可能解
により,あらたな実行可能解
は適当な実数
から
ベクトル
列ベクトル
に対して, ベクトル
で定義すると,
が成り立つ(佐伯).
は M の,
は N の列ベクトル
これを使って解の収束等の評価を行う.
を
無限小
無限小の導入
ここで場合が分かれる.
の成分に 0 が少ないときεに無関係に解が移動
の成分に 0 が多いとき解はεのオーダーでのみ変化
より具体的には
によって決まる.
点の動き
点列とプロセス
はじめは内点を移動し,境界に到達する.しばらく
境界上を移動して,次に動かなくなる.しばらくそ
のまま.突然,内点方向に飛び出す.以上のプロセ
スを繰り返す.
このように,内点ではεは
点列には影響しないが,
εオーダーの違いは境界に
行ったとき本質的となる.
飛び出すタイミングの
評価はできるが,決定は
できない.
♪
最悪のケースと♪の導入
のとき,εオーダーで改善されていき, εオーダーで元の
よりも改善されることが分かる.
これ以降,εに小さい数を代入すれば,いつでも
よりも良い解が得られる. εのままであれば,そのまま.
そこでnとは書けない大きな自然数
これによって通常の「数
を導入する.
」だけ改良されるとしてよい.
まとめ
前半のまとめ
このカオス的点列が境界から飛び出す瞬間が存在するのは
前の評価を使ってできるが,いつかは原理的に確定できない.
「存在定理」があるのみ.
漸化式は内部でも境界でもひとつの式で書け, の導入により
ひとつの操作を行うだけとなる.
計画法の解法としても
を適切にとってやれば,多項式
オーダーで収束し,かつ,厳密解を得ることになる.
レプリカ
レプリカ法とParisi解の無限小
分配関数Zの計算:lnZは難しいが,
は計算できることがある.そこで式
を参考に
とするのをレプリカ法という.ただし,自然数 n だけで定義されたものに0を代
入するので,そのままでは数学的裏付けはない.
Parisi解
レプリカ法
:ランダム変数(の集まり)
であるが,レプリカ法では
のあと
となり,順序交換が問題となる.
さらにレプリカ法にはParisi解という面白い解がある.
今日の話は,Parisi解を正当化する体系を作り,それを元にレプリカ法を
再構成すること.
由緒正しき方法は解析接続すること.しかし,いまの場合,解析接続の
前に関数自体を決定することが先決.
対称解
レプリカ対称解:鞍点での値がレプリカ指標によらない解
としたのがレプリカ対称解
対称解以外で知られているのはParisi解のみ
Parisi解2
I m はすべての成分1
2ステップ目
以下同様に無限回
繰り返す
m1
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
m1 は n の約数,...
この大小を反転させる…
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

n
を無限大にする.
(
とするとき)
n
0
無限小
無限小=無限大の枠組み
p は十分大きな素数で
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p  k!a
1
の形
解説
と
n 
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kを両立させることができる.

無限大はk
n0
多項式関係に強い数式処理ソフトの中には大きな素数を0とする
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
ものがある.当然,大きな数を扱う場合バグが出やすい.
そこを逆に積極的に使う.
レプリカ法はシミュレーションと矛盾がない.これを「大きな」
素数の存在によって説明できるかもしれない.
シミュレーションはレプリカ法を使っているわけではないが,
計算機での実際の数値計算で「意図せず」大きな素体での計算
をしているかもしれない.
これを実証できると面白い.
♪2
とするためには p を有限のまま無限大にしなければなら
k 
ない.
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pを n とは書けないが有限の「素数 」に極限する.
このとき k を「無限大」に飛ばすことができる.
上の議論が気に入らない人はあくまで近似のみを考えれば良い.
しかし,それは実数を認めず,あくまで有理数ですべてを考える
ことに等しい.

形式解
形式的Parisi解
Parisi解では mのみ変数. も二重性をもつようにすると
q
新しい解が得られるか.
qはmodとしては不変だが,そのまま自然数で考えると変数と
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
することは可能.
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qi  (ai,k  pで
i bi )
では積分が発散するが,
ai,k
では収束するようにでき
qi
る.その上でParisi解とは異なる形で0に極限する.


この方法で,通常の有限の解となり,かつ,Parisi解と異なるも
のが得られるかどうか不明.
可換性
N と n の順序交換の問題
を計算するとき,まずnを無限大にする.このとき,被積分
関数の n のある種のオーダーが有限となれば,N との順序交換は
可能となる.レプリカ対称解やParisi解はそうなっている.
したがって,この交換問題は n の二重性を考慮することで解決するもの
と思われる.
まとめ2
後半のまとめ
Parisi解を中心にしてレプリカ法を再考察
「変数」の「解析接続」
変数の二重性を使用(1点のみに解析接続)
Parisi解とレプリカ法をある程度説明できる.
課題:形式的Parisi解のようなあらたな解が構成できるか.
replica1
replica2
形式Parisi
たとえば,
こんな形.kでは収束せず,nでは収束.
最後にn=0に解析接続.