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表紙
レプリカ法と線型計画法に見る
無限小と無限大
奈良女子大学理学部
角田秀一郎
計画法
線型計画法の作成する点列を使ったカオスの構成
（佐伯祐子との共同研究）
単体法における退化現象の回避---1．背理法：矛盾に持ち込む方法
2．無限小を使うやり方
一方，境界を探索していく単体法に対して，
80年代中頃から内点法が脚光を浴び，双対内点法と進化して
いく（ホットな分野）
単体法と双対内点法を
ミックスさせる
最適解
問題
原型：単体法の退化現象と無限小による回避
線型計画問題
+
ベクトル
行列
双対
双対内点法の統一的扱い
記号
…
…
解の改善
実行可能解
により，あらたな実行可能解
は適当な実数
から
ベクトル
列ベクトル
に対して，ベクトル
で定義すると，
が成り立つ（佐伯）．
は M の，
は N の列ベクトル
これを使って解の収束等の評価を行う．
を
無限小
無限小の導入
ここで場合が分かれる．
の成分に 0 が少ないときεに無関係に解が移動
の成分に 0 が多いとき解はεのオーダーでのみ変化
より具体的には
によって決まる．
点の動き
点列とプロセス
はじめは内点を移動し，境界に到達する．しばらく
境界上を移動して，次に動かなくなる．しばらくそ
のまま．突然，内点方向に飛び出す．以上のプロセ
スを繰り返す．
このように，内点ではεは
点列には影響しないが，
εオーダーの違いは境界に
行ったとき本質的となる．
飛び出すタイミングの
評価はできるが，決定は
できない．
♪
最悪のケースと♪の導入
のとき，εオーダーで改善されていき， εオーダーで元の
よりも改善されることが分かる．
これ以降，εに小さい数を代入すれば，いつでも
よりも良い解が得られる． εのままであれば，そのまま．
そこでnとは書けない大きな自然数
これによって通常の「数
を導入する．
」だけ改良されるとしてよい．
まとめ
前半のまとめ
このカオス的点列が境界から飛び出す瞬間が存在するのは
前の評価を使ってできるが，いつかは原理的に確定できない．
「存在定理」があるのみ．
漸化式は内部でも境界でもひとつの式で書け，の導入により
ひとつの操作を行うだけとなる．
計画法の解法としても
を適切にとってやれば，多項式
オーダーで収束し，かつ，厳密解を得ることになる．
レプリカ
レプリカ法とParisi解の無限小
分配関数Zの計算：lnZは難しいが，
は計算できることがある．そこで式
を参考に
とするのをレプリカ法という．ただし，自然数 n だけで定義されたものに０を代
入するので，そのままでは数学的裏付けはない．
Parisi解
レプリカ法
：ランダム変数（の集まり）
であるが，レプリカ法では
のあと
となり，順序交換が問題となる．
さらにレプリカ法にはParisi解という面白い解がある．
今日の話は，Parisi解を正当化する体系を作り，それを元にレプリカ法を
再構成すること．
由緒正しき方法は解析接続すること．しかし，いまの場合，解析接続の
前に関数自体を決定することが先決．
対称解
レプリカ対称解：鞍点での値がレプリカ指標によらない解
としたのがレプリカ対称解
対称解以外で知られているのはParisi解のみ
Parisi解2
I m はすべての成分1
2ステップ目
以下同様に無限回
繰り返す
m1


m1 は n の約数，．．．
この大小を反転させる…
 


n
を無限大にする．
(
とするとき)
n
0
無限小
無限小＝無限大の枠組み
p は十分大きな素数で


p  k!a
1
の形
解説
と
n 

kを両立させることができる．

無限大はk
n0
多項式関係に強い数式処理ソフトの中には大きな素数を０とする



ものがある．当然，大きな数を扱う場合バグが出やすい．
そこを逆に積極的に使う．
レプリカ法はシミュレーションと矛盾がない．これを「大きな」
素数の存在によって説明できるかもしれない．
シミュレーションはレプリカ法を使っているわけではないが，
計算機での実際の数値計算で「意図せず」大きな素体での計算
をしているかもしれない．
これを実証できると面白い．
♪2
とするためには p を有限のまま無限大にしなければなら
k 
ない．

pを n とは書けないが有限の「素数」に極限する．
このとき k を「無限大」に飛ばすことができる．
上の議論が気に入らない人はあくまで近似のみを考えれば良い．
しかし，それは実数を認めず，あくまで有理数ですべてを考える
ことに等しい．

形式解
形式的Parisi解
Parisi解では mのみ変数．も二重性をもつようにすると
q
新しい解が得られるか．
qはmodとしては不変だが，そのまま自然数で考えると変数と


することは可能．

qi  (ai,k  pで
i bi )
では積分が発散するが，
ai,k
では収束するようにでき
qi
る．その上でParisi解とは異なる形で0に極限する．


この方法で，通常の有限の解となり，かつ，Parisi解と異なるも
のが得られるかどうか不明．
可換性
N と n の順序交換の問題
を計算するとき，まずnを無限大にする．このとき，被積分
関数の n のある種のオーダーが有限となれば，N との順序交換は
可能となる．レプリカ対称解やParisi解はそうなっている．
したがって，この交換問題は n の二重性を考慮することで解決するもの
と思われる．
まとめ2
後半のまとめ
Parisi解を中心にしてレプリカ法を再考察
「変数」の「解析接続」
変数の二重性を使用（1点のみに解析接続）
Parisi解とレプリカ法をある程度説明できる．
課題：形式的Parisi解のようなあらたな解が構成できるか．
replica1
replica2
形式Parisi
たとえば，
こんな形．kでは収束せず，nでは収束．
最後にn=0に解析接続．

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