( )k

上級統計学（2006）
積率
E ( X k ) をXのk次積率という。
平均は1次の積率である。
分散は2次積率(原点周りの2次積率)から1次積率の2乗を引いたものに等しいが，X
− E ( X ) をXを平均周りに
変換する1次変換とすることで，平均周りの2次積率といえる。
以下，一般に
E{ X − E ( X )}k
を平均周りのk次積率と呼ぶ。
積率についての重要な性質
平均周り2次の積率は「散らばり」を表すものとして知られている。
その2分の1乗である標準偏差の何倍であるか，で表すと散らばりを標準化できる。
では，3次以後はどうだろうか。
奇数次では平均より小さい側は負で評価されるから，記号には意味がある。また次数が大きいほど，より
平均からの距離が大きいものを重大に評価することになる。
3次では，平均より大きい側，つまりは「およその中心」よりも右の側がより離れたところまで分布が長く
伸びている形かどうかがわかる。プラスの値になるほど中心は左寄り，裾は右伸びである。こういう分布を
右にひずんだ分布という。
4次では「中心付近への集中によって，より離れたところへわずかに分布することを打ち消す力」が2次に
比べると弱く計測される。逆に言えば，この値は，裾の端の方で厚みがあると急速に大きくなる。こういう
分布では全体の形を見るとより中心付近の傾きが急に見えて，とがっているように見える。これを尖り(尖度)
で表す。
歪度＝平均周りの3次モーメント／（標準偏差の3乗），
尖度＝平均周りの4次モーメント／（標準偏差の4乗）
ついでに同じように1次2次のモーメントも平均周りに標準化すると，これは定義からそれぞれ0，1となる。
歪度は正負でひずみの向きが，絶対値でひずみの大きさが表される。尖度は正規分布で3であるので，これが
一つの基準になっている。
また，どのような分布に従っているかを確認する上で，
「無限次までの積率が等しいとき，二つの分布は一致する。」
という性質は重要である。
積率母関数
X を確率変数とし，θ を任意の実数とするとき，eθ X の期待値 E (eθ X ) を X の積率母関数といい，M X (θ )
と書く。
期待値の性質を思い出して，
21
上級統計学（2006）
離散型確率変数では，
M X (θ ) = E (eθ X ) = ∑ eθ X p ( X )
連続型確率変数では
M X (θ ) = E (eθ X ) = ∫ eθ X f ( x)dx
となることを確認しよう。
eθ X を θ x で微分すると eθ X となることに注意して， eθ X をマクローリン展開すると，
eθ X = 1 +
θ x (θ x) 2
1!
+
2!
(θ x)3
(θ x) k
+ .... +
+ ...
3!
k!
+
連続型について，積分が存在すれば
E (eθ X ) = ∫ f ( x)dx + ∫ θ xf ( x)dx +
= 1+ θ E( X ) +
∞
=∑
k =0
θ
θ2
2!
E( X ) +
2
1
1
1
(θ x) 2 f ( x)dx + ∫ (θ x)3 f ( x)dx + ... + ∫ (θ x) k f ( x) dx + ...
∫
2!
3!
k!
θ3
3!
E ( X ) + ... +
3
θk
k!
E ( X k ) + ...
k
k!
E( X k )
ここで各項はk次積率 E ( X ) を含んでいる。 θ で１階微分して θ =0とおくと，
k
∂M X (θ )
|θ =0 = E ( X )
∂θ
同様に， θ でk階微分して θ =0とおくと，
∂M ( k ) X (θ )
|θ =0 = E ( X k )
∂θ
となり，k次積率を得ることができる。
積率母関数には，次の性質がある。
1．一つの積率母関数からは1つの分布関数が得られる。
2．一つの積率母関数が第二の積率母関数に近づくならば，分布関数もまた第2の積率母関数に近づく。
練習
２項分布の積率母関数を求め，それを利用して平均と分散を求めよ。
22
上級統計学（2006）
注：マクローリン展開
関数のべき級数展開
多項式 f ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n を
f ( x) = b0 + b1 ( x − a) + b2 ( x − a) 2 + ... + bn ( x − a) n
の形に書き直すことができる。これが n 次まで微分可能であるとき，順に微分して，
f ( x) = b0 + b1 ( x − a) + b2 ( x − a) 2 + ... + bn ( x − a) n
f '( x) = b1 + 2b2 ( x − a) + 3b3 ( x − a) 2 + ... + nbn ( x − a) n −1
f (2) ( x) = 2b2 + 3 ⋅ 2b3 ( x − a ) + ... + n ⋅ (n − 1)bn ( x − a) n − 2
.......
f ( k ) ( x) = k ⋅ (k − 1) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1bk + ... + n ⋅ (n − 1) ⋅⋅⋅ (n − k + 1)bn ( x − a) n − k
.......
f
(n)
( x) = n ⋅ (n − 1) ⋅⋅⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1bn
これらの式で x に a を代入すると
f (a) = b0 , f '(a) = b1 , f (2) (a ) = 2b2 ,..., f ( k ) (a) = k !bk ,..., f ( n ) (a) = n !bn
となる。すなわち
f ( x) = f (a) + f '(a)( x − a ) +
f (2) (a )
f ( k ) (a)
f ( n ) (a)
( x − a) 2 + ...
( x − a)k +
( x − a)n
k!
n!
2
テーラーの定理
f ( x) が x = a の近傍で微分可能なら，一般に式
f ( x) = f (a) + f '(a)( x − a ) +
f (2) (a )
f ( k ) (a )
f ( n ) (c )
( x − a )2 + ... +
( x − a) k + ... +
( x − a)n
2
k!
n!
ただし最後の項は剰余項で，c は x と a の間。
テーラー展開とマクローリン展開
剰余項が n → ∞ の時に 0 に収束すれば，
f ( x) = f (a) + f '(a)( x − a ) +
f (2) (a)
( x − a) 2 + ...
2
と無限べき級数に展開できる。
特に a = 0 の時，
f (2) (0) 2
f ( x) = f (0) + f '(0) x +
x + ...
2
となり，マクローリン展開という。
23

Download Report