スペ シ ャル定積分 inuprioweb.fc2.com) 赤阪 正純 (httpソ ン (1) 瑚ク ス 力 1レ ,71ヽ う 〈うぃやか, ∼ T定 ′ リ 費 rJttb tll,し 晴フ ス ペ シ ャル定積分 `分 Pointく (特 殊な定積分 1 7α 2_″ 2が らみ vα 2_ノ がらみの定積分 =⇒ 例題氏 グ ″ =ア 「 ″ =α sin θ と置換す る . 1√ しか しなが ら,実 際 にテス トに出た らこんなメン ドウな計算 はしませ ん l Vl― の で 分氏 ,定 積 が,置 換 の仕方が特殊 で ,置 換 の方法 を暗記 してい vl_″ 2≧ 0な 関数υ=Vl― ″2の ない とどうにもな りません 囲 まれた部分 の面積 を表 しています この定積分 は置換積分で計算す るのです 考え方 0 ″ =sin θ よ って y=71_″ , と置換す ると 0≦ 2a″ は ″ , ″≦1の 部分と″軸とで 〆V=臓 2は 原点 中心 , 半径 1の 円の上 , ご″=cosθ αθ 部 を表 して い ます。 つ . ま り,求 め る定積分 は lyl_″ 2α ス ″ Sn2θ =氏 'yl― oCosθ =i、 'COSθ =i、 }〔 =式 堕が並 '」 ので , ″″ =π × 」 1lVl― 2α 12× :=そ `)フ f嗜 ,Iな このように定積分を図形の面積に置き換えて考え 〃ψ ,た るとい う発想は非常に重要で,テ ス トなどではどん θα θ どん利用 して構 い ませ ん . Pointく (重 要 な公式 二４ ■ 〓 θ +:Sin 2θ 夕 聯 θ ご θ αθ ■２ θ ｏ α ﹁ＩＪ 雛 'COs2 .cos 図 の斜線部分 の 面積 な α ′ 2__″ 2α ″ α2 =憲 να そ 氏 :=[‐ 珍注 本来は,71-sin2 θ=ν cos2 θ=lcoSa 原点中心 ,半 径 αの円の面積 の 一 となるべきところですが,積 分区間が0≦ θ≦, なので,cos θ≧0と なりyl_sin2 θ=cos θと 例題 な ります . 逆に言えば,「 yl_sin2 θ=cosθ としたぃか た ら 間を0≦ θ≦,に 設 定し 」ので す。 区 ,積 分 なぜなら,変 数変換す る際,″ =sin θなので ツ キ 質 ぅ ざ ィ ん クう 乱じ 編 y=巧 氏 √ 戸α″ 考え方 言うまでもなく明らかに 「円」です , ″ =0の ときθ=0,π ,2π ,… ① υ=V3-22 は原点中心,半 径V写 の ″ きθ =,,長 升 =1の と ,り ,¨ と,θ の値 はいろい ろな可能性 があ り 1つ に確 定 しませ ん 別 にどれを選 んでも良いのです しか し,そ の後の計算でyl_sin2 θ=lcoSθ lが 登 場することを予め想定して,絶 対fLEが 外れるように の だ で . `フ す (つ 円 の上 部 を表 して い る か ら,求 め る面積 は図 13、 ヽん うこ ネ¨ えが″ の ｀ー オ肝 の斜線部分 の面積 で あ る。 よって まりcos θ≧0と なるように),θ の範囲を選ん そんば =JIIIF ソ 編 ス , V3-″ 2ご ″=π ×(v5)2× ,た (〕 :=子 ヒtヵ ン フ タ ∼ )・ )/ inupri.web.fc2.com) 赤阪 正純 (httpン フ スペシヤル定積分 (2) ■ 疹注 ま とも にや るな ら,″ =海 sin θ と置換 し,先 ほ ど と同様 の 計算 を します ″=Vttsin θ ① ″=2 sin θ よ って と置換 す る と , , α″ =2cosθ αθ と置換すると , α″==イ τcosθ したが って dθ 澪 ′ 2α 3-″ ″ 氏 ν ∫l、 , /4-― ″2d″ マ θ.ν ttcOsθ αθ =i、 `y3-3 sin2 =i、 'VttCOSθ 'coS2 ' =」 li,2 ・ メンド,サ イ:† ビ tて 3ミ ヒ!よ ｎ 〇４ Ｓ ＋ θ ２ 〓 上部 である.よ って,求 める定積分 は図の斜線部分 の面積 である。 υ=74-″ 2 編７ 2は 原点中心 ,半 径 2の 円 の 一 方法 とで解 き比 べ てみ ます。 dθ 二３ 一 ／ ｒ ヽ ｌ 一 編丁 ＞ ０ ＋ π↑ ＜ 一 一 一 一 ″注 考え方 面積 を利用する方法 とまともに計算す る υ =V4-″ 2cosθ =」11:そ (2+2 cos2θ )ご θ 例題」 i√F=Fα ″ ● ・ α θ θ cos 「 生α θ.2cos θごθ 1-― sin2 =」 j:4cos2θ 鞣 ιす _旦 4 ′ 工６ πＬ 一 ， θ θ ２ Ｓ ｎ ４ １ 一 θ ＋ １ 一 ２ ３ 〓 ■２ θ ｏ ｄ ﹁ＩＪ =3氏 Lマ /4-4 sin2 θ.2cosθ αθ =42ν ・vttcOsθ α θ θα θ =3i、 =∫ 積 分 区 間 の と り方 に 注 意 しよ う なぜ , 一 θ の た か 。 そ れは ,cos θ ≧0に ≦うにし したかったから.な ぜ,COs θ≧0に したかったの =≦ か それは,yl_sin2 θ=cos θとしたかったか ,で 。 θヵ らす 雌ド ∼ 以 上の 2つ の 0を 比較 して どうで しょうか 後半 の 「面積」 に帰着す る計算方法 の方が圧倒的 に 優れ ていると思いませんか このよ うに定積分 の計 算 を図形的 に解釈す る とい う考 え方 は非常 に重要 -2 -1 ∪1 図 の斜線部分 は中心角 2 120° の扇形 と直角 三角形 OABに 分割 されるので,面 積 は π×22× :+´ 昇 =:π +理昇 したがって,求 める定積分 の値 は , です う イ 1じ ぅ ク 卜し '!く 例題氏 万 Fα ″ =≡ 1√ 考え方 これ まで とは式 の形 が違 い ます.で も何 か感 じますか ? ① y2″ ルー トの内部 を平方完成 す る 2=yl_(″ _1)2 一″ t市 1ミ 右口 応無 理 や37
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