情報数学 II-A 講義のポイント 10/27 講義の復習（10 月 20 日） 1.4 Lebesgue 測度空間定義 1 (1.4.1) (1) Rn の部分集合 A が， A= n Y k=1 (ak , bk ] , −∞ ≤ ak < bk ≤ +∞ (k = 1, 2, · · · , n) と表せるとき，A は Rn 上の長方形であるという。ただし，bk = +∞ のとき，(ak , bk ] は (ak , +∞) を表すものとする。 (2) Rn の部分集合 A が，Rn 上の有限個の長方形の和集合で表せるとき， A は Rn 上の基本集合であるという。 (3) Rn 上の基本集合の全体から生成される σ− 集合体を，Rn 上の Borel 集合体といい，B n で表す。B n の元を，Borel 可測集合または Borel 集合とよぶ。定理 2 (1.4.1) Rn 上の長方形 A= n Y k=1 (ak , bk ] , −∞ ≤ ak < bk ≤ +∞ (k = 1, 2, · · · , n) に対して，m (A) = n Q k=1 (bk − ak ) を満たす (Rn , Bn ) 上の測度 m を存在する。定義 3 (1.4.2) (1) h 定理 1.4.1i で得られた測度 m を Rn 上の Lebeague 測度という。 (2) Rn 上の基本集合 A= k Y n ³ i [ (i) (i) (i) (i) aj , bj , −∞ ≤ aj < bj ≤ +∞ (j = 1, 2, · · · , n) i=1 j=1 (1) −∞ ≤ aj (1) < bj (2) < aj に対して，m0 (A) = (2) < bj (k) < · · · < aj (k) < bj ≤ +∞ (j = 1, 2, · · · , n) ´ n ³ k Q P (i) (i) bj − aj とし，m0 (∅) = 0 と定義する。Rn i=1 j=1 上の基本集合の全体を A とする。任意の X ⊂ Rn に対して， ) (∞ ∞ X [ ∗ 0 m (X) = inf m (A` ) ; An ∈ A, X ⊂ A` `=1 `=1 は Rn 上の外側度であり，m∗ − 可測集合を Lebeague 可測集合という。Lebeague 可測集合は Lebeague 測度空間を完備化した測度空間における可測集合である。定理 4 (1.4.2) (Rn , B n , m) をルベーグ測度空間とする。 (1) m は σ− 有限測度である。 (2) A ⊂ Rn が可測集合ならば，A ∈ Bn であり m (A) = 0. (3) ∀x ∈ Rn および A ∈ Bn に対して，A + x ∈ Bn であり，m (A + x) = m (A) . (4) ∀α > 0 および A ∈ Bn に対して，αA ∈ Bn であり，m (αA) = αn m (A) . (5) T : Rn → Rn を回転とする。このとき，∀A ∈ Bn に対して，T (A) ∈ B n であり，m (T (A)) = m (A) . 講義 (10/27) の内容第２章積分２.1 可測関数定義 5 (2.1.1) f : Ω → R が次の条件を満たすとき，f は F− 可測関数であるという： f −1 ([−∞, a]) = {ω ∈ Ω; f (ω) ≤ a} ∈ F (∀a ∈ R) 定理 6 (2.1.1) f : Ω → R に対して次の条件は同値： (1) f : F− 可測関数; (2) f −1 ([a, +∞]) = {ω ∈ Ω; f (ω) ≥ a} ∈ F (∀a ∈ R) ; (3) f −1 ([−∞, a)) = {ω ∈ Ω; f (ω) < a} ∈ F (∀a ∈ R) ; (4) f −1 ((a, +∞]) = {ω ∈ Ω; f (ω) > a} ∈ F (∀a ∈ R) ; (5) f −1 (B) ∈ F (∀B ∈ B) かつ f −1 ({+∞}) = {ω ∈ Ω; f (ω) = +∞} ∈ F, f −1 ({−∞}) = {ω ∈ Ω; f (ω) = −∞} ∈ F 定理 7 (2.1.2) f, g, fn (n = 1, 2, · · · ) を F− 可測関数とし，α ∈ R とする。このとき，次の関数は（定義されれば）いずれも F− 可測関数である： 1 f; (1) αf ; (2) f + g; (3) f g; (4) (5) |f | ; (6) supfn ; (7) inf fn ; (8) n≥1 n≥1 lim supfn ; (9) lim inf fn ; (10) lim fn n→∞ n→∞ n→∞ 定義 8 (2.1.2) (1) A ⊂ Ω に対して， ( 1 1A (ω) ≡ 0 (ω ∈ A) (ω ∈ / A) と定めると，この関数 1A を A の定義関数（または，特性関数）という。 (2) f : Ω → R に対して，a1 , a2 , · · · , ak ∈ R および Ω の有限可測分割 {A1 , A2 , · · · , Ak } が存在して， f (ω) = k X an 1An (ω) n=1 と表せるとき，f を単純可測関数（または，単関数）という。