P(x) - 研伸館

同じ理屈で，次に 1 に代入するものは x = 5 です．
次の条件
これにより
P(0) = 0
2
2
P(52 + 1) = {P(5)}2 + 1
P(x + 1) = {P(x)} + 1
- P(26) = 52 + 1
を満たす整式 P(x) をすべて求めよ．
- P(26) = 26
《解法の流れ》
を得ます．
まず，「整式」という言葉についてですが，前回
さて，そろそろ
扱った「多項式」とほぼ同じと捉えていただいて大
P(x) = x
丈夫です．つまり，「x の自然数乗と定数の積の項」ではないだろうか？という気配が漂ってきました
と「定数項」から成る式のことです．
ね．ただ，問題は，それの証明方法です．この流
ただ，その前提を踏まえたところで，やや条件不
れで確認できるのは，次でしたら 1 に x = 26 を代
足と感じるのは否めないでしょう．何はともあれス
入することにより得られる P(262 + 1) = P(677) で
タートですが，とりあえず
す．かなり飛び飛びの値ですよね．途中で飛ばし
2
てしまっている P(3),P(4),P(6) などは確認のし
2
P(x + 1) = {P(x)} + 1
から漸化式的なものは連想できますか？この式を変
ようがないです．無論，x として整数だけでなく，
形していっても特に有効な何かは得られそうにない
P(3.1),P(3.12) なども考える必要があります．つま
ので，P(0) = 0 を利用して，順次代入していきます．
り，帰納法（？）的なことを考えたところで，所詮
つまり
は
P(x + 1) = {P(x)} + 1 …… 1
2
P(0) → P(1) → P(2) → P(5) → P(26)
2
に対して，まず x = 0 を代入すると
→ P(677) → P(6772 + 1) →・・・
P(02 + 1) = {P(0)}2 + 1
という，特別な数字を代入したときでしか確認でき
- P(1) = 0 + 1
ないわけです．ちなみに，ここでいう「特別な数字」
- P(1) = 1
というのは
2
となります．この結果を利用することを考えて，次
a1 = 0
に 1 に x = 1 を代入すると
an+1 = an2 + 1
P(12 + 1) = {P(1)}2 + 1
で定義される数列 {an} のことです．{an} を初項 a1
- P(2) = 1 + 1
から順に書き並べると
2
- P(2) = 2
0,1,2,5,26,677,6772 + 1,……
となります．さらに 1 に x = 2 を代入すると
となります．
P(2 + 1) = {P(2)} + 1
では，ここからどうしたらよいか，一歩引いて考
- P(5) = 22 + 1
えてみましょう．まず簡単なところから．
- P(5) = 5
前回の解答でも述べているように，2 次関数を決
2
2
となります．P(3) ではなく一気に P(5) が出ましたが，定するためには，f(x) がとる値の条件が 3 つ与えら
仕方ないですね．もし P(3) が求めたいのであれば，れることが必要十分です．ここで「2 次関数の決定」
とは，無論，定義域は「全ての実数 x」です．f(x)
x = 2 を代入することになりますが， P ( 2 ) が分
がとる値について，x として特別な 3 つの値を考え
からなければどうしようもありません．
るだけで，
「全ての実数 x」についてが分かるという
ことです．
1
3 次関数であれば 4 つの条件，4 次関数であれば
n 次（以下の）方程式 f(x) = 0 を考えているつも
5 つの条件・・というように，次数に応じて係数の
りだったのに，「解」が n + 1 個発見された瞬間，実
数が変わるので，次数に応じて条件の数も変わりま
は f(x) = 0 が恒等式であったことが確定し，どんな
す．一般に
x を代入してもこの式は成り立つことになるわけで
n 次の整式 f(x) を決定するためには，
す．次数を上回る数の解があればおかしいことは明
f(x) がとる値の条件が n + 1 個与えられて
らかなので，直感的に自明とも言えますが，証明は
いることが必要十分
下のようにできます．
と言えます．また，よく見かける表現とは思います（証明）
が
n 次以下の整式 f(x) に対して，f(x) = 0 を満たす
f(x) の最高次の係数を 1 とする
x として異なる n + 1 個の値が存在するとする．そ
という制限をつけると，とる値の条件は n 個で済み
れらの値を
ます．これは
a1,a2,a3,……,an,an+1
とするとき，適当な整式 g(x) を用いて
x 2 + 3x + 4
f(x) = g(x)(x - a1)(x - a2) … (x - an+1)
3 x 2 + 9 x + 12 = 3(x 2 + 3 x + 4)
1 2 3
1
x + x + 2 = (x 2 + 3 x + 4)
2
2
2
と表せる．このとき g(x) ≠ 0 とすると，f(x) の次数
が n + 1 以上になるので不適．よって，g(x) = 0 で
というように実数倍の形で書けるものについて，区
あり
別をなくす感覚ですね．この場合，f(x) の値として
f(x) = 0
特別な n 個で考えたことによる結論が，それ以外の
となる．（これは恒等的に成り立つ）
x においても成り立つわけです．
（証明終わり）
特に，n 次以下の整式 f(x) がとる値がいずれも 0，
つまり，f(x) = 0 を満たす x として，n + 1 個の異
では，今回の場合はどうしたらよいでしょうか？
なる x が存在するとき
ゴールは
f(x) = 0 は恒等的に成り立つ
P(x) = x
（f(x) = 0 は恒等式である）
が恒等的に成り立つことを示すことです．変数 x を
と言えます．
集約するために移項して
整式 f(x) を決定したら，条件が多かったた
P(x) - x = 0
め，まさかの f(x) = 0 であった
とし，この上で
というわけです．
Q(x) = P(x) - x
ここで，f(x) = 0 について，両辺を適当に実数倍
とおいて
することにより左辺の最高次の係数は 1 にできるこ
Q(x) = 0
とに注意しましょう．つまり，条件として n 個あれ
が恒等的に成り立つことを示します．Q(x) = 0 を満
ば良いところ，過剰に n + 1 個あるわけです．
たす x は，先ほど与えた式：
前回の解答にて，方程式と恒等式の違いは説明し
ていますよね．方程式の場合，ある特定の値（「解」
という）を代入したときのみ成り立ち，恒等式の場
a1 = 0
an+1 = an2 + 1
により定義される {an} が対応します．つまり，
合は，どんな x を代入しても成り立ちます．
Q(x) = 0 を満たす x は
2
す x として
x = a1,a2,a3,……
と無数に存在します．Q(x) として想定される次数よ
x = a1,a2,……,am,am+1
り 1 つでも多く，
「解」を見つければ良いわけですが，の m + 1 個存在すると言える．これより，適当な整
{an} は無数にあるので，怖いものなしです．ただ
式 R(x) を用いて
Q(x) は有限次数
Q(x) = R(x)(x - a1)(x - a2) … (x - am+1)
Q(x) = 0 を満たす x は無数に存在
と表せるが，R(x) ≠ 0 とすると，Q(x) の次数が
→ Q(x) = 0 は恒等的に成り立つ
m + 1 以上になるので R(x) = 0 である．これより
では，やや味気ないので，解答では丁寧に書くこと
Q(x) = 0
にします．また
が恒等的に成り立つ．よって
任意の自然数 n に対して，
Q(x) = 0
x = an は Q(x) = 0 を満たす
- P(x) - x = 0
- P(x) = x
の部分についても，帰納法を用いて厳密に書くとし
ます．
であり，これは恒等式より，P(x) はこれ以外にはな
以下，模範解答です．
い．
以上より，求める整式 P(x) は
《解答》
P(x) = x
である．
P(x) = x
であると推測できる．以下，これを示す．
P(0) = 0,P(1) = 1 より P(x) は定数ではないので，《コメント》
P(x) を m ( ≥ 1) 次以下の整式とすると
いかがだったでしょうか？手法を知らなければ
ハードな問題ですが
Q(x) = P(x) - x
によって定義される Q(x) も m 次以下の整式である．
ここで，数列 {an} を
整式の決定
においての 1 つの手法として知っておきましょう．
n 次方程式のつもりだったのに，n + 1 個の
a1 = 0
解を持つことが分かった瞬間，実は恒等式
2
an+1 = an + 1 (n = 1,2,3 ,………)
と定義すると，任意の自然数 n に対して，x = an は
だったことが判明する
Q(x) = 0 を満たす．
というお話です．
何故なら，x = a1 = 0 のとき成り立つのは上記の
これを使えば，前回の解答における最後の問いか
通りであり，ある自然数 n に対して x = an のとき
けについても，容易く説明ができると思います．
Q(x) = 0 が成り立つとすると
P(an2 + 1) = {P(an)}2 + 1
それでは，今回はここまでです．今年度の私の担
- P(an + 1) = an + 1 （仮定より）
当はこれがラストですね．
- P(an+1) = an+1
受験生の方はもう一踏ん張り，体調に気を付けて
2
2
（条件式より）
より，x = an+1 のときも Q(x) = 0 を満たすからであ
頑張ってください！
る．
（研伸館数学科野口）
漸化式より数列 {an} は増加数列であるから，an の
値は全て異なることに注意すると，Q(x) = 0 を満た
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