画像工学特論レポート課題課題 1 円の方程式 (x − a)2 + (y − b)2 = r2 は, データからなる 4 次元ベクトルを ξ, パラメータからなる 4 次元ベクトルを u と定義すると, (u, ξ) = 0 と書ける. 今, 画像からある円上の点列 xα = (xα , yα ) , α = 1, ..., N が得られたとする。データ ξ α の共分散行列を V [ξ α ] として, 次式で示されるマハラノビス距離 J= N ∑ (ξα − ξ¯α , V [ξα ]−1 (ξα − ξ¯α )) (1) α=1 を制約条件 (u, ξ¯α ) = 0, α = 1, ..., N (2) ¯ はデータ ξ の真値であり、誤差を ∆ξ と表すと、のもとで最小にするような円のパラメータを推定したい。ただし、ξ α α α ξ = ξ¯ + ∆ξ と書ける。 α α α ラグランジュの未定乗数法によって、最小化したい目的関数が次式で表せることを示せ。 J= N ∑ (u, ξα )2 (u, V [ξ α ]u) α=1 (3) 課題 2 図 1(a) の入力画像を画像中心を原点として θ 回転した画像が図 1(b) である. ただし, 回転前の画像の点 (x, y) と回転後の画像の点の間には次の関係が成り立つものとする. ( ) ( x cos θ = y sin θ − sin θ cos θ )( x ) y (4) I(x, y), I (x , y ) をそれぞれ, 入力画像 I の点 (x, y) での画素値, 回転画像 I の点 (x , y ) での画素値として, 次の関数 J を最小化することで回転パラメータ θ を求めたい. J= )2 1 ∑ ( I (x , y ) − I(x, y) 2 (5) (x,y)∈I 上記の関数を最小にするパラメータ θ をガウス · ニュートン法で求めるアルゴリズムをまとめる以下の文章の空欄を埋めよ. (a) 入力画像 (b) 回転画像図 1: 画像の回転 1 画像工学特論レポート課題式 (5) の θ に関する微分は次のようになる. Jθ = ∑( ) ∂x ∂y I (x , y ) − I(x, y) (Ix + Iy ) ∂θ ∂θ (6) ここで, Ix , Iy はそれぞれ, 画像 I (x , y ) の x 方向, y 方向の平滑微分画像における (x , y ) の画素値である. さらにガウス · ニュートン近似を用いれば, J の 2 階微分は次のようになる. Jθθ = 1 (7) 次に, x , y の θ に関する微分を考える. まず, x の θ に関する微分は次のように書ける. dx dθ = ∑ ∂x ∂Rij ∂Rij ∂θ i,j=1,2 = (8) 2 ただし, Rij は式 (4) の回転行列の (ij) 成分を表す. (今回の例では式 (4) の関係から直接微分を計算することが可能であるが, そうでない場合には式 (8) より計算する.) 同じように, y の θ に関する微分は次のように書ける. dy dθ = ∑ ∂y ∂Rij ∂Rij ∂θ i,j=1,2 (9) 3 = 以上より, 式 (5) を最小化するガウス · ニュートン法のアルゴリズムは次のようになる. 1. θ の初期値を適当に与え, それに対する J の値 J0 を式 (4) により計算する. 2. θ に対する平滑微分画像 Ix , Iy を作成する. 3. J の 1 階微分 Jθ と 2 階微分 Jθθ を式 (6), (7) より計算する. 4. ∆θ を次のように計算する. ∆θ = 4 5. θ ← θ + ∆θ とし, |∆θ| < なら θ を返して終了する. そうでなければ, J0 ← J としてステップ 2 に戻る. 2 (10)